Как устроены фракталы. Разнообразный мир фракталов Фракталы в природе
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Авторы:
Бекбулатова Алина,
Гетьманова Софья
Руководители:
Могутова Татьяна Михайловна,
Дерюшкина Оксана Валерьевна
Введение .
Теоретическая часть проекта:
- История развития фрактальной геометрии.
- Понятие фрактала.
- Виды фракталов:
а) геометрические фракталы, примеры геометрических фракталов;
б) алгебраические фракталы, примеры алгебраических фракталов;
в) стохастические фракталы, примеры.
- Природные фракталы.
- Практическое применение фракталов:
- в литературе;
- в телекоммуникации;
- в медицине;
- в архитектуре;
- в дизайне;
- в экономике;
- в играх, кино, музыке
- в естественных науках
- в физике;
- в биологии
- фракталы для домохозяек
- современные картины – фрактальная графика.
- Фрактальная графика.
- Роль фрактальной геометрии в жизни – гимн фракталам!
Практическая часть работы над проектом
- Создание научной работы «Путешествие в мир фракталов»
- Размещение в сети Интернет.
- Участие в олимпиадах, конкурсах.
- Создание собственных фракталов.
- Создание брошюры «Удивительный мир фракталов»
- Проведение фестиваля «Удивительный мир фракталов.
Введение
Геометрию часто называют холодной и сухой. Одна из причин заключается в ее неспособности описать все то, что окружает нас: форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. С огромной для нас радостью мы узнали, что в современном мире существует новая геометрия – геометрия фракталов.
Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии, во всех областях нашей жизни.
Актуальность проекта:
- Роль фракталов в современном мире достаточно велика
- Убедительных аргументов в пользу актуальности изучения фракталов является широта области их применения
Гипотеза исследования:
Фрактальная геометрия – современная, очень интересная область человеческого познания. Появление фрактальной геометрии есть свидетельство продолжающейся эволюции человека и расширения его способов познания мира.
Цель проекта:
Изучить теорию фракталов для создания научной работы «Удивительный мир фракталов» и разработки и реализации на компьютере алгоритмов рисования фракталов на плоскости.
Задачи проекта:
- Познакомиться с историей возникновения и развития фрактальной геометрии;
- Изучить виды фракталов, их применение в современном мире.
- Выполнить программы создания фракталов на языках программирования Pascal и Logo
- Создать научную работу о фракталах, опубликовать ее в сети Интернет.
- Создать брошюру «Удивительный мир фракталов»
- Провести фестиваль «Удивительный мир фракталов» с целью ознакомления с результатами нашей работы учащихся школы.
Над проектом мы работали в течении 4 месяцев.
Основные этапы нашей работы:
- Сбор необходимой информации: использование сети Интернет, книг, публикаций по данной теме. (2 недели)
- Сортировка информации по темам: систематизация и определение порядка написания работы. Работа заняла 2 недели.
- Составление текстовой работы: написание текста, частичное оформление систематизированной информации. Заняло один месяц.
- Создание презентации: сжатие систематизированных сведений, определение структуры презентации, её создание и оформление и проходило в течении месяца.
- Изучение программы создания фракталов и создание собственных фракталов на языках программирования Pascal и Logo (до сегодняшнего дня)
Теоретическая часть проекта
Мы изучили историю создания фрактальной геометрии.
Интерес к фрактальным объектам возродился в середине 70-х годов 20 века.
Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature". В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Так что же такое фрактал?
Фрактал - геометрическая фигура, составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которое в более крупном масштабе подобно себе.
Фракталы делятся на геометрические, геометрические и стохастические.
Геометрические фракталы по-другому называют классическими. Они являются самыми наглядными, так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Это значит, что, независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор.
Приведем самые известные примеры геометрических фракталов.
Снежинка Коха.
Изобретена в 1904 годнемецким математиком Хельге фон Кохом.
Для её построения берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся отрезков. В результате бесконечного повторения данной процедуры получается фрактальная кривая.
Пятиугольник Дюрера.
Фрактал выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе. Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей в которых в точности равно так называемой золотой пропорции Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому.
Салфетка Серпинского.
В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект.
Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д.
Кривая Дракона.
Изобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано.
Ковер Серпинского.
Берется квадрат, разбивается на девять равных квадратов, средний из которых выбрасывается, а с остальными повторяется та же операция до бесконечности.
Второй вид фракталов – алгебраические фракталы.
Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. В результате математической обработки данной формулы на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал.
Примеры самых известных алгебраических фракталов.
Множество Мандельброта .
Множества Мандельброта наиболее распространенный среди алгебраических фракталов. Его можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями.
Множество Жулиа .
Множество Жулиа было изобретено французским математиком Гастоном Жулиа. Не менее известный алгебраический фрактал.
Бассейны Ньютона.
Стохастические фракталы.
Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастичными. Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".
При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности и поверхности морей, процесса электролиза. Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли из технологического института штата Джорджия.
Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма".
Наиболее понятны для нас так называемые природные фракталы.
«Великая книга Природы написана на языке геометрии» (Галилео Галилей).
Природные фракталы .
- В живой природе:
- Морские звезды и ежи
- Цветы и растения (брокколи , капуста)
- Кроны деревьев и листья растений
- Плоды (ананас)
- Кровеносная система и бронхи людей и животных
- В неживой природе:
- Границы географических объектов (стран, областей, городов)
- Морозные узоры на оконных стёклах
- Сталактиты , сталагмиты , геликтиты .
Почти все природные образования: кроны деревьев, облака, горы, береговые линии имеют фрактальную структуру.
Что это значит?
Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части, то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково.
Морские фракталы.
Осьминог – морское придонное животное из отряда головоногих.
Фрактальное строение имеют его тела и присоски на всех восьми щупальцах этого животного.
Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл.
В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов.
Зеленый фрактал – листья папоротника.
Листья папоротника имеют форму фрактальной фигуры - они самоподобны.
Лук – фрактал, который заставляет плакать. Конечно, фрактал он незамысловатый: обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивный фрактал.
Ярким примером фрактала в природе является «Романеску », она же «романская брокколи» или «цветная коралловая капуста».
Цветная капуста - типичный фрактал.
Рассмотрим строение цветной капусты.
Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты.
Матрешка - игрушка-сувенир - типичный фрактал. Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.
Человек – это фрактал.
Рождается ребенок, растет, и этот процесс сопровождается принципом «самоподобия», фрактальностью.
Широка область применения фракталов.
Фракталы в литературе
Среди литературных произведений есть такие, которые обладают текстуальной, структурной или фрактальной природой. В литературных фракталах бесконечно повторяются элементы текста:
У попа была собака,
он ее любил.
Она съела кусок мяса,
он ее убил.
В землю закопал,
Надпись написал:
У попа была собака…
«Вот дом.
Который построил Джек.
А вот пшеница.
В доме,
Который построил Джек
А вот весёлая птица-синица,
Которая ловко ворует пшеницу,
Которая в тёмном чулане хранится
В доме,
Который построил Джек…».
Фракталы в телекоммуникации .
Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.
Фракталы в медицине .
В данное время фракталы находят широкое применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фрактальных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи, бронхиальные пути в легких, артерии.
Теория фракталов применятся для анализа электрокардиограмм.
Оценка величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца.
Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику!!
Еще одна область активного применения фракталов – гастроэнтерология.
Новый метод исследования в медицине, электрогастроэнтерография - метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.
Фракталы в архитектуре.
Фрактальный принцип развития природных и геометрических объектов проникает вглубь архитектуры и как образ внешнего решения объекта, и как внутренний принцип архитектурного формообразования.
Дизайнеры со всего мира начали использовать в своих работах замечательные фрактальные структуры, только недавно описанные видными математиками.
Использование фракталов поставило практически все направления современного дизайна на новый уровень.
Привнесение фрактальных структур увеличило во многих случаях как визуальную, так и функциональную составляющие дизайна.
Дизайнер Такеси Миякава в детстве мечтал стать математиком.
Иначе как объяснить этот предмет мебели: тумбочка Fractal 23 содержит 23 ящика самых разных размеров и пропорций, которые как-то ухитряются уживаться между собой внутри кубического корпуса, заполняя почти всё доступное им пространства.
Фракталы в экономике.
Последнее время фракталы стали популярны у экономистов для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.
Фракталы появляются на рынке достаточно часто.
Фракталы в играх.
Сегодня в очень многих играх (пожалуй самый яркий пример Minecraft), где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы. Создано большое количество программ для генерации ландшафтов и пейзажей, основанных на фрактальных алгоритмах.
Фракталы в кино .
В кино для создания различных фантастических пейзажей используется фрактальный алгоритм. Фрактальная геометрия позволяет художникам по спецэфффектам без труда создавать такие объекты как облака, дым, пламя, звёздное небо и т.д. Что уж тогда говорить о фрактальной анимации, это действительное потрясающее зрелище.
Электронная музыка .
Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют виджеи. Особенно часто такие видеоинсталляции используются на концертах исполнителей электронной музыки.
Естественные науки .
Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую можно очень точно вычислить длины побережий.
Исследование разломной тектоники и сейсмичности порой тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов.
Геофизика использует фракталы и фрактальный анализ для исследования аномалий магнитного поля, для изучения распространение волн и колебаний в упругих средах, для исследования климата и многих других вещей.
Фракталы в физике .
В физике фракталы применяются очень широко. В физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами.
Пример твёрдого тела - кристаллы.
Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы.
Переход к фрактальному представлению облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных систем.
При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.
Фракталы в биологии .
В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.
Фракталы для домохозяек.
Легкоперенести теорию фракталов в домашние условия, в том числе и на кухню.
Результатом применения может быть что угодно: фрактальные сережки, фрактальное вкусное печень и многое другое. Нужно подключить только знания и смекалку!
Широко используются в современном мире фрактальная графика. Пользуются популярностью картины - результат фрактальной графики.
И это не случайно. Полюбуйтесь красотой фрактальной графики!
Практическая часть проекта
- Создали научную работу «Путешествие в мир фракталов»
- Изучили программы создания фракталов на языках программирования Pascal и Logo
- Создали собственные фракталы.
- Сделали своими руками «Салфетку Серпинского» и «Ковер Серпинского»
- Сделали «Фрактальные сережки»
- Создали цикл картин «Чудеса фрактальной графики»
- Опубликовали работу «Путешествие в мир фракталов « в сети Интернет.
- Приняли участие с работой « Путешествие в мир фракталов» в VII Всероссийской олимпиаде школьников и студентов «Наука 2.0» по учебному предмету «Математика». Заняли первое место.
- Приняли участие с работой «Путешествие в мир фракталов» во Всероссийском конкурсе «Великие открытия и изобретения». Заняли первое место.
- Приняли участие с работой «Путешествие в мир фракталов» в VIII Всероссийской олимпиаде школьников и студентов «Я – исследователь» по учебному предмету Математика. Заняли первое место.
- Создали презентацию « Удивительный мир фракталов»
- Создали брошюры «Применение фракталов» и «Фракталы вокруг нас»
- Провели фестиваль «Удивительный мир фракталов» для учащихся 8-11 классов»
Итак, можно с полной уверенностью сказать об огромном практическом применении фракталов и фрактальных алгоритмов на сегодняшний день.
Спектр областей, где применяются фракталы, очень обширен и разнообразен.
И наверняка, в ближайшем будущем, фракталы, фрактальная геометрия, станут близки и понятны каждому из нас. Мы не сможем обходиться без них в нашей жизни!
Будем надеяться, что появление фрактальной геометрии есть свидетельство продолжающейся эволюции человека и расширения его способов познания и осознания мира. Возможно, наши дети будут также легко и осмысленно оперировать понятиями фракталов и нелинейной динамики, как мы оперируем понятиями классической физики, эвклидовой геометрии.
Результаты работы над проектом
- Познакомились с историей возникновения и развития фрактальной геометрии;
- Изучили виды фракталов, их применение в современном мире.
- Создали собственные фракталы на языках программирования Pascal и Logo
- Создали научную работу о фракталах.
- Создали брошюры «Фракталы вокруг нас» и «Применение фракталов»
- Провели фестиваль «Удивительный мир фракталов» для учащихся 8-11 классов.
Недавно я узнала о таких интереснейших объектах математического мира как фракталы. Но существуют они не только в математики. Они окружают нас повсюду. Фракталы бывают природные. О том, что такое фракталы, о видах фракталов, о примерах этих объектов и их применении я и расскажу в этой статье. Для начала кратко расскажу, что такое фрактал.
Фракта́л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической. Для примера я вставлю картинку с изображением четырех разных фракталов.
Расскажу немного об истории фракталов. Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Примеров фракталов можно привести массу, потому что, как и говорила, они окружают нас повсюду. По-моему, даже вся наша Вселенная — это один огромный фрактал. Ведь все в ней, от строения атома до строения самой Вселенной, в точности повторяет друг друга. Но есть, конечно, и более конкретные примеры фракталов из разных областей. Фракталы, к примеру, присутствуют в комплексной динамике. Там они естественным образом появляются при изучении нелинейных динамических систем . Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функцией комплекса переменных на плоскости. Одними из самых известных фракталов такого вида являются множество Жюлиа, множество Мандельброта и бассейны Ньютона. Ниже по порядку на картинки изображены каждый из вышеперечисленных фракталов.
Еще одним примером фракталов являются фрактальные кривые. Объяснить, как строиться фрактал лучше всего именно на примере фрактальных кривых. Одной из таких кривых является, так называемая, Снежинка Коха. Существует простая процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. Ниже показана Снежинка (или кривая) Коха.
Фрактальных кривых так же существует огромное множество. Самые известные из них — это, уже упомянутая, Снежинка Коха, а также кривая Леви, кривая Минковского, ломанная Дракона, кривая Пиано и дерево Пифагора. Изображение данных фракталов и их историю, я думаю, при желании вы легко сможете найти в Википедии.
Третьим примером или видом фракталов являются стохастические фракталы. К таким фракталам можно отнести траекторию броуновского движения на плоскости и в пространстве, эволюции Шрамма-Лёвнера, различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр.
Существуют так же чисто математические фракталы. Это, например, канторово множество, губка Менгера, Треугольник Серпинского и другие.
Но самые, пожалуй, интересные фракталы — это природные. Природные фракталы — это такие объекты в природе, которые обладают фрактальными свойствами. И тут уже список большой. Я не буду перечислять все, потому что, наверное, всех и не перечислить, но о некоторых расскажу. Вот, к примеру, в живой природе к таким фракталам относятся наша кровеносная система и легкие. А еще кроны и листья деревьев. Так же сюда можно отнести морских звезд, морских ежей, кораллы, морские раковины, некоторые растения, такие как капуста или брокколи. Ниже наглядно показаны несколько таких природных фракталов из живой природы.
Если же рассматривать неживую природу, то там интересных примеров гораздо больше, нежели в живой. Молнии, снежинки, облака, всем известные, узоры на окнах в морозные дни, кристаллики, горные хребты — все это является примерами природных фракталов из неживой природы.
Примеры и виды фракталы мы рассмотрели. Что же касается применения фракталов, то они применяются в самых разных областях знаний. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать ее при вычислении протяженности береговой линии. Так же фракталы активно используются в радиотехнике, в информатике и компьютерных технологиях, телекоммуникациях и даже экономике. Ну и, конечно же, фрактальное видение, активно используется в современном искусстве и архитектуре. Вот один из примеров фрактальных картин:
И так, на этом я думаю завершить свой рассказ о таком необычном математическом явлении как фрактал. Сегодня мы узнали о том, что такое фрактал, как он появился, о видах и о примерах фракталов. А так же я рассказала о их применении и продемонстрировала некоторые из фракталов наглядно. Надеюсь, вам понравилась эта небольшая экскурсия в мир удивительных и завораживающих фрактальных объектов.
Выполнила ученица 7 класса Карпюк Полина
Приода создана из самоподобных офигур, просто мы этого не замечаем. В этой галерее мы собрали образы, в которых ясно видна фрактальность.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Фракталы в природе Выполнила: ученица 7 «Б» класса Карпюк Полина Руководитель: Молчанова Ирина Павловна Рубцовск-2015
Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел
Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них - еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них - мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Это свойство объектов американский математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты - фракталами. Само слово «фрактал» с латыни переводится как "частичный", "разделенный", "раздробленный", а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. .
Космические фотографии земных ландшафтов часто дают отличные примеры фракталов.
Береговые линии обычно имеют фрактальную форму, но различаются степенью своей изрезанности. На этом примере видны два характерных свойства природных фракталов: Отдельные протоки не являются копией друг друга, но имеют аналогичные криволинейные очертания, будто они нарисованы одним лекалом. Большие протоки аналогичны по очертаниям маленьким и очень маленьким протокам. Если мы увеличим, например, нижний левый угол картинки, мы получим нечто похожее на всю картинку целиком
Взаимодействие воды и земли порождает фрактальные структуры ландшафтов - будь то горы, реки или побережья.
Наверное, каждый знает картину японского художника Хокусаи "Большая волн\", там волна цунами изображена на фоне Фудзиямы. Если вглядываться в эту картину, то обращаешь внимание, что художник рисуя гребень волны использовал фрактал, как бы состоящий из многочисленных хищных водяных лап. Поэтому часто эту картину используют в качестве иллюстрации к книгам по теории хаоса, фракталам.
Когда песчаная дюна размывается водой, в крошечных масштабах повторяется то, что придает фрактальную форму большим земным ландшафтам.
Разряд молнии-один из примеров природных фракталов.
Эта картинка иллюстрирует не только фрактальность крон деревьев, она наводит на еще одно интересное соображение: лес как биологическое сообщество также является фракталом. Отдельные деревья - большие и маленькие - выступают тогда в качестве ветвей фрактала. Они похожи, но не повторяют друг друга.
Прожилки листьев - плоский природный фрактал. Для каждого растения характерный рисунок уникален, как уникален папиллярный рисунок на руке человека. Гете (поэт и ученый) считал, что лист - самая выразительная часть растения, в которой отражается вся его морфология.
Папортники - пример природных фракталов, которые очень похожи на компьютерные фракталы. При этом они еще интересны тем, что папортники - одни из самых эволюционно древних растений, наряду с различными мхами и прочими низшими растениями
Это еще один знаменитый и очень впечатляющий пример природного фрактала, который обладает математически четкими формами. Прослеживается как минимум три уровня самоподобных хитроумных пирамидок Капуста романеско
Волшебно красивый фрактал, который бы вполне мог вдохновить какого-нибудь художника. А между тем, приглядитесь: это всего лишь тугой пучок капустных листьев.
Это любопытные примеры фрактальной структуры в минеральном мире. Карбонат-апатит Золотой самородок - изысканное сокровище, изготовленное самой природой.
Вы задумывались когда-нибудь, что мы буквально мыслим фракталами? Тут есть о чем задуматься – кто будет спорить, что мозг – одно из самых удивительных и уникальных творений природы. И оказывается, он внешне имеет те же фрактальные признаки, что и атмосферная облачность или корневая система крапивы.
Тут еще все сложнее: переплетаются два отдельных фрактальных дерева - по одному подается венозная кровь, по другому отводится обогащенная кислородом артериальная. А в совокупности легкое - потрясающая по сложности система трех фракталов - одного дыхательного и двух кровеносных.
Сетчатка содержит светочувствительные клетки, благодаря которым мы видим. На этом снимке они желтовато-зеленые. Они действительно образуют сеть (сетчатку), но эта сеть хаотична и фрактальна.
Это живот свиньи. Пятна его окраса, кажется, тоже подчиняются фрактальным правилам. Это интересная тема и, главное, имеет массу применений, в том числе имеет и военное значение. По каким правилам должен составляться рисунок камуфляжа, чтобы его носитель сливался с природными формами - ландшафта и растительности?
Спасибо за внимание!!!
Как был открыт фрактал
Математические формы, известные как фракталы, принадлежат гению выдающегося ученого Бенуа Мандельброта. Большую часть жизни он преподавал математику в Йельском университете США. В 1977 - 1982 годах Мандельброт опубликовал научные труды, посвященные изучению «фрактальной геометрии» или «геометрии природы», в которых разбивал на первый взгляд случайные математические формы на составные элементы, оказавшиеся при ближайшем рассмотрении повторяющимися, - что и доказывало наличие некого образца для копирования. Открытие Мандельброта возымело весомые последствия в развитии физики, астрономии и биологии.
Фракталы в природе
В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья (фрактальная концепция позволила ученым измерить береговую линию Британских островов и другие, ранее неизмеримые, объекты).
Рассмотрим строение цветной капусты. Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты. В этом простейшем случае даже небольшая часть фрактала содержит информацию обо всей конечной структуре.
Фракталы в цифровой технике
Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку новых технологий в области цифровой музыки, а так же сделала возможной сжатие цифровых изображений. Существующие фрактальные алгоритмы сжатия изображения основаны на принципе хранения сжимающего изображения вместо самой цифровой картинки. Для сжимающего изображения основная картинка остаётся неподвижной точкой. Фирма «Microsoft» использовала один из вариантов данного алгоритма при издании своей энциклопедии, но по тем или иным причинам широкого распространения эта идея не получила.
В математической основе фрактальной графики лежит фрактальная геометрия, где в основу методов построения «изображений-наследников» помещён принцип наследования от исходных «объектов-родителей». Сами понятия фрактальной геометрии и фрактальной графики появилось всего около 30 лет назад, но уже прочно вошли в обиход компьютерных дизайнеров и математиков.
Базовыми понятиями фрактальной компьютерной графики являются:
- Фрактальный треугольник - фрактальная фигура - фрактальный объект (иерархия в порядке убывания)
- Фрактальная прямая
- Фрактальная композиция
- «Объект-родитель» и «Объект наследник»
Также как в векторной и трёхмерной графике, создание фрактальных изображений математически вычисляемо. Главное отличие от первых двух видов графики в том, что фрактальное изображение строится по уравнению или системе уравнений, - ничего кроме формулы в памяти компьютера для выполнения всех вычислений хранить не нужно, - и такая компактность математического аппарата позволила использование этой идеи в компьютерной графике. Просто изменяя коэффициенты уравнения, можно с лёгкостью получить совершенно иное фрактальное изображение - при помощи нескольких математических коэффициентов задаются поверхности и линии очень сложной формы, что позволяет реализовать такие приёмы композиции, как горизонтали и вертикали, симметрию и асимметрию, диагональные направления и многое другое.
Как построить фрактал?
Создатель фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно. Какие предстоят этапы работы сотворения рисунка «с нуля»?
- задать форму рисунка математической формулой
- исследовать сходимость процесса и варьировать его параметры
- выбрать вид изображения
- выбрать палитру цветов
Среди фрактальных графических редакторов и прочих графических программ можно выделить:
- «Art Dabbler»
- «Painter» (без компьютера ни один художник никогда не достигнет заложенных программистами возможностей лишь посредством с помощью карандаша и пера кисти)
- «Adobe Photoshop» (но здесь изображение «с нуля» не создается, а, как правило, только обрабатывается)
Рассмотрим устройство произвольной фрактальной геометрической фигуры. В её центре находится простейший элемент - равносторонний треугольник, получивший одноимённое название: «фрактальный». На среднем отрезке сторон построим равносторонние треугольники со стороной, равной одной трети от стороны исходного фрактального треугольника. По тому же принципу строятся ещё более мелкие треугольники-наследники второго поколения - и так до бесконечности. Объект, который в результате получился, называется «фрактальной фигурой», из последовательностей которой получаем «фрактальную композицию».
Источник: http://www.iknowit.ru/
Фракталы и древние мандалы
В принципе, мандала — это геометрический символ сложной структуры, который интерпретируется как модель Вселенной, «карта космоса». Вот и первый признак фрактальности!
Их вышивают на ткани, рисуют на песке, выполняют цветными порошками и делают из металла, камня, дерева. Яркий и завораживающий вид, делает её красивым украшением полов, стен и потолков храмов в Индии. На древнем индийском языке «мандала» обозначает мистический круг взаимосвязи духовных и материальных энергий Вселенной или по-другому цветок жизни.
Мне хотелось написать обзор о фрактальных мандалах совсем небольшим, с минимумом абзацев, показав, что взаимосвязь явно существует. Однако, пытаясь найти осознать и связать информацию о фракталах и мандалах в единое целое, у меня было ощущение квантового скачка в неизвестное мне пространство.
Демонстрирую необъятность этой темы цитатой: ”Такие фрактальные композиции или мандалы могут использоваться как в виде картин, элементов дизайна жилого и рабочего помещения, носимых амулетов, в форме видеокассет, компьютерных программ…” В общем, тема для исследования фракталов просто огромнейшая.
Одно я могу сказать точно, мир гораздо разнообразнее и богаче, чем убогие представления нашего ума о нем.
Фрактальные морские животные
Мои догадки о фрактальных морских животных были не беспочвенны. Вот и первые представители. Осьминог - морское придонное животное из отряда головоногих.
Взглянув на эту фотографию, мне стало очевидно фрактальное строение его тела и присосок на всех восьми щупальцах этого животного. Присосок на щупальцах взрослого осьминога достигает до 2000.
Интересен то факт, что у осьминога три сердца: одно (главное) гонит голубую кровь по всему телу, а два других — жаберных — проталкивают кровь через жабры. Некоторые виды этих глубоководных фракталов ядовиты.
Приспосабливаясь и маскируясь под окружающую среду, осьминог обладает весьма полезной способностью изменять окраску.
Осьминогов считают самыми «умными» среди всех беспозвоночных. Узнают людей, привыкают к тем, кто их кормит. Интересно было бы посмотреть на осьминогов, которые легко поддаются дрессировке, имеют хорошую память и даже различают геометрические фигуры. Но век этих фрактальных животных недолог - максимум 4 года.
Человек использует чернила этого живого фрактала и других головоногих. Они пользуются спросом у художников за их стойкость и красивый коричневый тон. В средиземноморской кухне осьминог является источником витаминов B3, B12, калия, фосфора и селена. Но я думаю, что этих морских фракталов нужно уметь готовить, чтобы получать удовольствие от их употребления в виде пищи.
Кстати, нужно заметить, что осьминоги - хищники. Своими фрактальными щупальцами они удерживают жертву в виде моллюсков, ракообразных и рыбы. Жаль, если пищей этих морских фракталов становится вот такой красивый моллюск. По-моему, тоже типичный представитель фракталов морского царства.
Это родственник улиток, брюхоногий голожаберный моллюск Главк, он же Глаукус, он же Glaucus atlanticus, он же Glaucilla marginata. Это фрактал еще и необычен тем, что живет и передвигается под поверхностью воды, удерживаясь за счет поверхностного натяжения. Т.к. моллюск является гермафродитом, то после спаривания оба "партнера" откладывают яйца. Этот фрактал встречается во всех океанах тропического пояса.
Фракталы морского царства
Каждый из нас хотя бы раз в жизни держал в руках и с неподдельным детским интересом рассматривал морскую раковину.
Обычно раковины являются красивым сувениром, напоминающим о поездке на море. Когда смотришь на это спиралевидное образование беспозвоночных моллюсков, нет никаких сомнений в его фрактальной природе.
Мы, люди, чем-то напоминаем этих мягкотелых моллюсков, обитая в благоустроенных бетонных домах-фракталах, помещая и перемещая свое тело в быстрых автомобилях.
Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл.
В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков.
Коралл - это материал скелета колонии коралловых полипов, тоже из семейства беспозвоночных. Их огромные скопления образуют целые коралловые рифы, фрактальный способ образования которых очевиден.
Коралл с полной уверенностью можно назвать фракталом из морского царства.
Он также используется человеком в виде сувенира или сырья для ювелирных изделий и украшений. Но повторить красоту и совершенство фрактальной природы очень сложно.
В очередной раз, исполняя ритуал на кухне с ножом и разделочной доской, а потом, опустив нож в холодную воду, я вся в слезах в очередной раз придумывала, как бороться со слезоточивым фракталом, который практически ежедневно появляется на моих глазах.
Принцип фрактальности тот же, что и у знаменитой матрешки - вложенность. Именно поэтому фрактальность замечается не сразу. К тому же, светлый однородный окрас и его природная способность вызывать неприятные ощущения не способствуют пристальному наблюдению за мирозданием и выявлению фрактальных математических закономерностей.
А вот салатный лук сиреневого цвета в силу своего окраса и отсутствия слезоточивых фитонцидов навел на размышления о природной фрактальности этого овоща. Конечно, фрактал он незамысловатый, обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивнейший фрактал. Но не мешало бы вспомнить, что шар считается идеальной геометрической фигурой в пределах нашей Вселенной.
О полезных свойствах лука в Интернете опубликовано немало статей, но как-то никто не пытался изучать этот природный экземпляр с точки зрения фрактальности. Я могу только констатировать факт полезности применения фрактала в виде лука на своей кухне.
P.S. А овощерезку для измельчения фрактала я уже приобрела. Теперь придется поразмышлять, насколько фрактален такой полезный овощ, как обычная белокачанная капуста. Тот же принцип вложенности.
Фракталы в народном творчестве
Мое внимание привлекла история всемирно известной игрушки «Матрешка». Присмотревшись внимательней, с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир - типичный фрактал.
Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.
Мои небольшие исследования истории появления этого игрушечного фрактала на мировом рынке показали, что корни у этой красавицы - японские. Матрешка всегда считалась исконно русским сувениром. Но оказалось, что она прототип японской фигурки старика-мудреца Фукурума, привезенного когда-то в Москву из Японии.
Но именно российский игрушечный промысел принес этой японской фигурке мировую славу. Откуда возникла идея фрактальной вложенности игрушки, лично для меня, так и осталось загадкой. Скорей всего автор этой игрушки использовал принцип вложенности фигурок друг в друга. А самый простой способ вложения - это подобные фигурки разных размеров, а это уже - фрактал.
Не менее интересный объект исследования представляет собой роспись игрушки-фрактала. Это декоративная роспись - хохлома. Традиционные элементы хохломы - это травяные узоры из цветов, ягод и веток.
Снова все признаки фрактальности. Ведь один и тот же элемент можно повторять несколько раз в разных вариантах и пропорциях. В итоге получается народная фрактальная роспись.
И если новомодной росписью компьютерных мышек, крышек ноутбуков и телефонов никого уже не удивишь, то фрактальный тюнинг автомобиля в народном стиле - это что-то новое в автодизайне. Остается только удивляться проявлению мира фракталов в нашей жизни таким необычным образом в таких обычных для нас вещах.
Фракталы на кухне
Типичный представитель фрактала из растительного мира красовался на моем кухонном столе.
При всей моей любви к цветной капусте мне все время попадались экземпляры с однородной поверхностью без видимых признаков фрактальности, и даже большое число соцветий, вложенных друг в друга, не давали мне повода увидеть в этом полезном овоще фрактал.
Но поверхность именно этого экземпляра с явно выраженной фрактальной геометрией не оставляла ни малейшего сомнения во фрактальном происхождении этого вида капусты.
Очередной поход в гипермаркет только подтвердил фрактальный статус капусты. Среди огромного числа экзотических овощей красовался целый ящик с фракталами. Это была Романеску, или романская брокколи, цветная коралловая капуста.
Оказывается, дизайнеры и 3D-художники восторгаются ее экзотическими формами, похожими на фракталы.
Капустные почки нарастают по логарифмической спирали. Первые упоминания о капусте романеску пришли из Италии 16-го века.
А капуста броколли совсем не частая гостья в моем рационе, хотя по содержанию полезных веществ и микроэлементов она превосходит цветную капусту в разы. Но ее поверхность и форма настолько однородны, что мне никогда не приходило в голову увидеть в ней овощной фрактал.
Фракталы в квиллинге
Увидев ажурные поделки в технике квиллинг, меня никогда не покидало ощущение, что что-то они мне напоминают. Повторение одних и тех же элементов в разных размерах - конечно же, это принцип фрактальности.
Посмотрев очередной мастер-класс по квилингу, не осталось даже сомнений в фрактальности квиллинга. Ведь для изготовления различных элементов для поделок из квиллинга используется специальная линейка с окружностями разного диаметра. При всей красоте и неповторимости изделий, это - невероятно простая техника.
Почти все основные элементы для поделок в квиллинге делаются из бумаги. Чтобы запастись бумагой для квиллинга бесплатно, проведите дома ревизию своих книжных полок. Наверняка, там вы обнаружите пару-тройку ярких глянцевых журналов.
Инструменты для квиллинга просты и недороги. Все что вам необходимо для выполнения любительских работ в стиле квиллинг, вы можете найти среди своих домашних канцелярских принадлежностей.
А история квиллинга начинается в 18 веке в Европе. В эпоху Ренессанса монахи из французских и итальянских монастырей с помощью квиллинга украшали книжные обложки и даже не подозревали о фрактальности изобретенной ими техники бумагокручения. Девушки из высшего общества даже проходили курс по квиллингу в специальных школах. Вот так эта техника начала распространяться по странам и континентам.
Этот мастер-класс видео квиллинг по изготовлению роскошного оперения можно даже назвать "фракталы своими руками". С помощью фракталов из бумаги получаются чудесный эксклюзивные открытки-валентики и много разных других интересных вещей. Ведь фантазия, как и природа неисчерпаема.
Ни для кого не секрет, что японцы по жизни сильно ограничены в пространстве, в связи с чем, им приходится всячески изощряться в эффективном его использовании. Такеши Миякава показывает, как это можно делать одновременно эффективно и эстетично. Его фрактальный шкаф подтверждение тому, что использование фракталов в дизайне - это не только дань моде, но и гармоничное конструкторское решение в условиях ограниченного пространства.
Этот пример использования фракталов в реальной жизни, применительно к дизайну мебели показал мне, что фракталы реальны не только на бумаге в математических формулах и компьютерных программах.
И, похоже, что принцип фрактальности природа использует повсеместно. Только нужно присмотреться к ней внимательней, и она проявит себя во всем своем великолепном изобилии и бесконечности бытия.
