Интегрирование произведения. Интегрирование по частям
В этой теме мы подробно поговорим вычислении неопределённых интегралов с помощью так называемой "формулы интегрирования по частям". Нам понадобится таблица неопределенных интегралов и таблица производных . В первой части будут разобраны стандартные примеры, которые большей частью встречаются в типовых расчётах и контрольных работах. Более сложные примеры разобраны во второй части .
Постановка задачи в стандартном случае следующая. Допустим, под интегралом у нас расположены две функции разной природы : многочлен и тригонометрическая функция, многочлен и логарифм, многочлен и обратная тригонометрическая функция и так далее. В этой ситуации выгодно отделить одну функцию от другой. Грубо говоря, имеет смысл разбить подынтегральное выражение на части, - и разобраться с каждой частью по отдельности. Отсюда и название: "интегрирование по частям". Применение этого метода основано на следующей теореме:
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на некотором промежутке, и на этом промежутке существует интеграл $\int v \; du$. Тогда на этом же промежутке существует и интеграл $\int u \; dv$, при этом верно следущее равенство:
\begin{equation} \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du \end{equation}
Формулу (1) и называют "формулой интегрирования по частям". Иногда, применяя вышеуказанную теорему, говорят о использовании "метода интегрирования по частям". Нам будет важна суть этого метода, которую и рассмотрим на примерах. Существует несколько стандартных случаев, в которых явно применима формула (1). Именно эти случаи и станут темой данной страницы. Пусть $P_n(x)$ - многочлен n-й степени. Введём два правила:
Правило №1
Для интегралов вида $\int P_n(x) \ln x \;dx$, $\int P_n(x) \arcsin x \;dx$, $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, $\int P_n(x)\arctg x \;dx$, $\int P_n(x) \arcctg x \;dx$ принимаем $dv=P_n(x)dx$.
Правило №2
Для интегралов вида $\int P_n(x) a^x \;dx$ ($a$ - некоторое положительное число), $\int P_n(x) \sin x \;dx$, $\int P_n(x) \cos x \;dx$, $\int P_n(x)ch x \;dx$, $\int P_n(x) sh x \;dx$ принимаем $u=P_n(x)$.
Сразу отмечу, что указанные выше записи не нужно воспринимать буквально. Например, в интегралах вида $\int P_n(x) \ln x \;dx$ не обязательно будет стоять именно $\ln x$. Там могут быть расположены и $\ln 5x$, и $\ln (10x^2+14x-5)$. Т.е. запись $\ln x$ нужно воспринимать как своего рода обобщение.
Ещё один момент. Бывает, что формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Об этом поговорим подробнее в примерах №4 и №5. Теперь перейдём непосредственно к решению типичных задач. Решение задач, уровень которых чуть выше стандартных, разбирается во второй части .
Пример №1
Найти $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$.
Под интегралом расположен многочлен $3x+4$ и тригонометрическая функция $\cos (2x-1)$. Это классический случай для применения формулы , поэтому возьмём заданный интеграл по частям. Формула требует, чтобы интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ был представлен в форме $\int u \; dv$. Нам нужно выбрать выражения для $u$ и для $dv$. Можно в качестве $u$ принять $3x+4$, тогда $dv=\cos (2x-1)dx$. Можно взять $u=\cos (2x-1)$, тогда $dv=(3x+4)dx$. Чтобы сделать правильный выбор обратимся к . Заданный интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ подпадает под вид $\int P_n(x) \cos x \;dx$ (многочлен $P_n(x)$ в нашем интеграле имеет вид $3x+4$). Согласно нужно выбрать $u=P_n(x)$, т.е. в нашем случае $u=3x+4$. Так как $u=3x+4$, то $dv=\cos(2x-1)dx$.
Однако недостаточно просто выбрать $u$ и $dv$. Нам еще понадобятся значения $du$ и $v$. Так как $u=3x+4$, то:
$$ du=d(3x+4)=(3x+4)"dx=3dx.$$
Теперь разберёмся с функцией $v$. Так как $dv=\cos(2x-1)dx$, то согласно определению неопределённого интеграла имеем: $ v=\int \cos(2x-1)\; dx$. Чтобы найти нужный интеграл применим внесение под знак дифференциала :
$$ v=\int \cos(2x-1)\; dx=\frac{1}{2}\cdot \int \cos(2x-1)d(2x-1)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2x-1)+C=\frac{\sin(2x-1)}{2}+C. $$
Однако нам нужно не всё бесконечное множество функций $v$, которое описывает формула $\frac{\sin(2x-1)}{2}+C$. Нам нужна какая-то одна функция из этого множества. Чтобы получить искомую функцию нужно вместо $C$ подставить какое-либо число. Проще всего, разумеется, подставить $C=0$, получив при этом $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$.
Итак, соберём всё вышеизложенное воедино. Мы имеем: $u=3x+4$, $du=3dx$, $dv=\cos(2x-1)dx$, $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$. Подставляя всё это в правую часть формулы будем иметь:
$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx. $$
Осталось, по сути, только найти $\int\frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx$. Вынося константу (т.е. $\frac{3}{2}$) за знак интеграла и применяя метод внесения под знак дифференциала , получим:
$$ (3x+4)\cdot \frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx= \\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\int \sin(2x-1) \;d(2x-1)= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$
Итак, $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C$. В сокращенном виде процесс решения записывают так:
$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x+4; \; du=3xdx.\\ & dv=\cos(2x-1)dx; \; v=\frac{\sin(2x-1)}{2}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$
Неопределённый интеграл по частям найден, осталось лишь записать ответ.
Ответ : $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C$.
Полагаю, здесь не обойдётся без вопроса, поэтому попробую сформулировать его и дать ответ.
Почему мы приняли именно $u=3x+4$ и $dv=\cos(2x-1)dx$? Да, интеграл был решён. Но, может быть, если бы мы взяли $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$ интеграл тоже был бы найден!
Нет, если принять $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$, то ничего хорошего с этого не выйдет, - интеграл не упростится. Судите сами: если $u=\cos(2x-1)$, то $du=(\cos(2x-1))"dx=-2\sin(2x-1)dx$. Кроме того, так как $dv=(3x+4)dx$, то:
$$ v=\int (3x+4) \; dx=\frac{3x^2}{2}+4x+C.$$
Приняв $C=0$, получим $v=\frac{3x^2}{2}+4x$. Подставим теперь в формулу найденные значения $u$, $du$, $v$ и $dv$:
$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\cos (2x-1)\cdot \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) - \int \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) \cdot (-2\sin(2x-1)dx)=\\ =\cos (2x-1)\cdot \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) +2\cdot\int \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) \sin(2x-1)\;dx $$
И к чему мы пришли? Мы пришли к интегралу $\int \left(\frac{3x^2}{2}+4x \right) \sin(2x-1)\;dx$, который явно сложнее нежели исходный интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$. Это говорит о том, что выбор $u$ и $dv$ был сделан неудачно. После применения формулы интегрирования по частям полученный интеграл должен быть проще исходного. Находя неопределенный интеграл по частям мы должны упрощать его, а не усложнять, поэтому если после применения формулы (1) интеграл усложнился, то выбор $u$ и $dv$ осуществлён некорректно.
Пример №2
Найти $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$.
Под интегралом расположен многочлен (т.е. $3x^4+4x-1$) и $\ln 5x$. Этот случай подпадает под , поэтому возьмём интеграл по частям. Заданный интеграл имеет такую же структуру, как и интеграл $\int P_n(x) \ln x\; dx$. Вновь, как и в примере №1, нам нужно выбрать какую-то часть подынтегрального выражения $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ в качестве $u$, а какую-то часть - в качестве $dv$. Согласно , нужно выбрать $dv=P_n(x)dx$, т.е. в нашем случае $dv=(3x^4+4x-1)dx$. Если из выражения $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ "изьять" $dv=(3x^4+4x-1)dx$, то останется $\ln 5x$ - это и будет функция $u$. Итак, $dv=(3x^4+4x-1)dx$, $u=\ln 5x$. Для применения формулы нам понадобятся также $du$ и $v$. Так как $u=\ln 5x$, то:
$$ du=d(\ln 5x)=(\ln 5x)"dx=\frac{1}{5x}\cdot 5 dx=\frac{1}{x}dx. $$
Теперь найдём функцию $v$. Так как $dv=(3x^4+4x-1)dx$, то:
$$ v=\int(3x^4+4x-1)\; dx=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x+C. $$
Из всего найденного бесконечного множества функций $\frac{3x^5}{5}+2x^2-x+C$ нам нужно выбрать одну. А проще всего это сделать приняв $C=0$, т.е. $v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x$. Для применения формулы всё готово. Подставим в правую часть указанной формулы значения $u=\ln 5x$, $du=\frac{1}{x}dx$, $v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x$ и $dv=(3x^4+4x-1)dx$ будем иметь:
$$ \int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left | \begin{aligned} & u=\ln 5x; \; du=\frac{1}{x}dx.\\ & dv=(3x^4+4x-1)dx; \; v=\frac{3x^5}{5}+2x^2-x. \end{aligned} \right |=\\ =\ln 5x \cdot \left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)-\int \left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot \frac{1}{x}dx=\\ =\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x -\int \left (\frac{3x^4}{5}+2x-1 \right)dx=\\ =\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \left (\frac{3x^5}{25}+x^2-x \right)+C=\\ =\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac{3x^5}{25}-x^2+x+C. $$
Ответ : $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left (\frac{3x^5}{5}+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac{3x^5}{25}-x^2+x+C$.
Пример №3
Найти $\int \arccos x \; dx$.
Этот интеграл имеет структуру $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, подпадающую под . Понимаю, что сразу возникнет резонный вопрос: "а где в заданном интеграле $\int\arccos x \; dx$ спрятали многочлен $P_n(x)$? Там же нет никакого многочлена, только арккосинус и всё!". Однако на самом деле под интегралом расположен не только арккосинус. Я представлю интеграл $\int arccos x \; dx$ в таком виде: $\int 1\cdot\arccos x \; dx$. Согласитесь, что от домножения на единицу подынтегральное выражение не изменится. Вот эта единица и есть $P_n(x)$. Т.е. $dv=1\cdot dx=dx$. А в качестве $u$ (согласно ) принимаем $\arccos x$, т.е. $u=\arccos x$. Значения $du$ и $v$, кои учавствуют в формуле , найдём так же, как и в предыдущих примерах:
$$ du=(\arccos x)"dx=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx;\\ v=\int 1\; dx=x+C. $$
Как и в предыдущих примерах, полагая $C=0$ получим $v=x$. Подставляя все найденные параметры в формулу , будем иметь следующее:
$$ \int \arccos x \; dx=\left | \begin{aligned} & u=\arccos x; \; du=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx.\\ & dv=dx; \; v=x. \end{aligned} \right |=\\ =\arccos x \cdot x-\int x\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \right)= \arccos x \cdot x+\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=\\ =x\cdot\arccos x-\frac{1}{2}\cdot\int (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}d(1-x^2)= =x\cdot\arccos x-\frac{1}{2}\cdot\frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\\ =x\cdot\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C. $$
Ответ : $\int\arccos x \; dx=x\cdot\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$.
Пример №4
Найти $\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx$.
В этом примере формулу интегрирования по частям придётся применять два раза. Интеграл $\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx$ имеет структуру $\int P_n(x) a^x \;dx$. В нашем случае $P_n(x)=3x^2+x$, $a=e$. Согласно имеем: $u=3x^2+x$. Соответственно, $dv=e^{7x}dx$.
$$ du=(3x^2+x)"=(6x+1)dx;\\ v=\int e^{7x}\;dx=\frac{1}{7}\cdot \int e^{7x}\;d(7x)=\frac{1}{7}\cdot e^{7x}+C=\frac{e^{7x}}{7}+C. $$
Опять-таки, как и в предыдущих примерах, полагая $C=0$, имеем: $v=\frac{e^{7x}}{7}$.
$$ \int (3x^2+x) e^{7x} \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x^2+x; \; du=(6x+1)dx.\\ & dv=e^{7x}dx; \; v=\frac{e^{7x}}{7}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x^2+x)\cdot\frac{e^{7x}}{7}-\int \frac{e^{7x}}{7}\cdot (6x+1)dx= \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \int (6x+1) e^{7x}\;dx. $$
Мы пришли к интегралу $\int (6x+1) e^{7x}\;dx$, который вновь необходимо брать по частям. Приняв $u=6x+1$ и $dv=e^{7x}dx$ будем иметь:
$$ \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \int (6x+1) e^{7x}\;dx=\left | \begin{aligned} & u=6x+1; \; du=6dx.\\ & dv=e^{7x}dx; \; v=\frac{e^{7x}}{7}. \end{aligned} \right |=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7}-\frac{1}{7}\cdot \left ((6x+1)\cdot\frac{e^{7x}}{7} - \int\frac{e^{7x}}{7}\cdot 6\;dx \right)=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6}{49}\cdot\int\ e^{7x}\;dx=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6}{49}\cdot\frac{e^{7x}}{7}+C=\\ =\frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6\; e^{7x}}{343}+C. $$
Полученный ответ можно и упростить, раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые:
$$ \frac{(3x^2+x)e^{7x}}{7} -\frac{(6x+1)e^{7x}}{49} +\frac{6\; e^{7x}}{343}+C=e^{7x}\cdot \left(\frac{3x^2}{7}+\frac{x}{49}-\frac{1}{343} \right)+C. $$
Ответ : $\int (3x^2+x) e^{7x} \; dx=e^{7x}\cdot \left(\frac{3x^2}{7}+\frac{x}{49}-\frac{1}{343} \right)+C$.
Пример №5
Найти $\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx$.
Здесь, как и в предыдущем примере, интегрирование по частям применяется дважды. Подробные пояснения были даны ранее, поэтому приведу только решение:
$$ \int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=x^2+5; \; du=2xdx.\\ & dv=\sin(3x+1)dx; \; v=-\frac{\cos(3x+1)}{3}. \end{aligned} \right |=\\ =(x^2+5)\cdot \left(-\frac{\cos(3x+1)}{3} \right)-\int\left(-\frac{\cos(3x+1)}{3} \right)\cdot 2xdx=\\ = -\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2}{3}\int x\cos(3x+1)dx= \left | \begin{aligned} & u=x; \; du=dx.\\ & dv=\cos(3x+1)dx; \; v=\frac{\sin(3x+1)}{3}. \end{aligned} \right |=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2}{3}\cdot \left(x\cdot\frac{\sin(3x+1)}{3}-\int\frac{\sin(3x+1)}{3}dx \right)=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{2}{9}\cdot\int\sin(3x+1)dx=\\ =-\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{2}{9}\cdot \left(-\frac{\cos(3x+1)}{3}\right)+C=\\ = -\frac{(x^2+5)\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}+\frac{2\cos(3x+1)}{27}+C=\\ =-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3}-\frac{5\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}+\frac{2\cos(3x+1)}{27}+C=\\ =-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C. $$
Ответ : $\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=-\frac{x^2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C$.
Применение метода интегрирования по частям в несколько нестандартных случаях, не подпадающих под действие правил №1 и №2, будет дано во
Рассмотрим функции $u=u(x)$ и $v=v(x)$, которые имеют непрерывные производные . Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:
$d(u v)=u d v+v d u$
Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:
$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Rightarrow u v=\int u d v+\int v d u$
Полученное равенство перепишем в виде:
$\int u d v=u v-\int v d u$
Эта формула называется формулой интегрирования по частям . С ее помощью интеграл $\int u d v$ можно свести к нахождению интеграла $\int v d u$, который может быть более простым.
Замечание
В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.
Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:
1) $\int P_{n}(x) e^{k x} d x$ ; $\int P_{n}(x) \sin (k x) d x$ ; $\int P_{n}(x) \cos (k x) d x$
Здесь $P_{n}(x)$ - многочлен степени $n$, $k$ - некоторая константа. В данном случае в качестве функции $u$ берется многочлен, а в качестве $d v$ - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется $n$ раз.
Примеры решения интегралов данным методом
Пример
Задание. Найти интеграл $\int(x+1) e^{2 x} d x$
Решение.
$=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2 x}+C=$
$=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{e^{2 x}}{4}+C$
Ответ. $\int(x+1) e^{2 x} d x=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{e^{2 x}}{4}+C$
Пример
Задание. Найти интеграл $\int x^{2} \cos x d x$
Решение.
$=x^{2} \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\right)=$
$=x^{2} \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$
$=x^{2} \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\left(x^{2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$
Ответ. $\int x^{2} \cos x d x=\left(x^{2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$
2) $\int P_{n}(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_{n}(x) \arccos x d x$ ; $\int P_{n}(x) \ln x d x$
Здесь принимают, что $d v=P_{n}(x) d x$, а в качестве $u$ оставшиеся сомножители.
Пример
Задание. Найти интеграл $\int \ln x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.
$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
Ответ. $\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$
Пример
Задание. Найти интеграл $\int \arcsin x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.
$=x \arcsin x-\int \frac{-t d t}{\sqrt{t^{2}}}=x \arcsin x+\int \frac{t d t}{t}=x \arcsin x+\int d t=$
$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C$
Ответ. $\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C$
3) $\int e^{k x+b} \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^{k x+b} \cos (c x+f) d x$
В данном случае в качество $u$ берется либо экспонента, либо тригонометрическая функция . Единственным условием есть то, что при дальнейшем применении формулы интегрирования по частям в качестве функции $u$ берется та же функция, то есть либо экспонента, либо тригонометрическая функция соответственно.
Пример
Задание. Найти интеграл $\int e^{2 x+1} \sin x d x$
Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.
$=-e^{2 x+1} \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac{e^{2 x+1}}{2} d x=$
>> Методы интегрирования
Основные методы интегрирования
Определение интеграла, определенный и неопределенный интеграл, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.
Неопределенный интеграл
Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x ∈X справедливо равенство:
F " (x) = f(x). (8.1)
Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -
Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
где С- произвольная постоянная.
Таблица интегралов
Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2)∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Список табличных интегралов
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctg x + C
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
Замена переменной
Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.
Если функция f(z) непрерывна на [α,β], функция z =g(x) имеет на непрерывную производную и α ≤ g(x) ≤ β, то
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).
Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Например:
1)
2) .
Метод интегрирования по частям
Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,
d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.
Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv"dx к интегрированию выражения vdu=vu"dx.
Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.
Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [
a,b] на n
частей точками a= x 0 < x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ
x i =x i - x i-1
. Сумма вида f(ξ i)Δ
x i называется интегральной суммой
, а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом
функции f(x) от a
до b
и обозначается:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .
Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:
4), (k = const, k∈R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .
Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
∫f(x)dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:
F(b) - F(a). (8.6)
Геометрическая интерпретация: определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox .
Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:
(8.7)
Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится .
Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-∞,b] и (-∞, + ∞):
Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:
если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:
Примеры вычисления интегралов
Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).
Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .
Пример 3.31 . Найти ∫ tgxdx.
Решение. ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Пусть t=cosx, тогда ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Пример 3.32 . Найти ∫dx/sinxРешение.
Пример 3.33. Найти .
Решение. =
.
Пример 3.34 . Найти ∫arctgxdx.
Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда
du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.
Решение.
Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.
Решение.
Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Интеграл
∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx,
du=e x dx, v=sinx. Имеем:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получили соотношение
∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx
dx = - e x cosx + e x sinx + С.
Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.
Решение. Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Пример 3.38 . Вычислить J = .
Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .
Представлен метод интегрирования неопределенного интеграла по частям. Даны примеры интегралов, вычисляющихся этим методом. Разобраны примеры решений.
СодержаниеСм. также:
Методы вычисления неопределенных интегралов
Таблица неопределенных интегралов
Основные элементарные функции и их свойства
Формула интегрирования по частям имеет вид:
.
Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u
и v
являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x
(символ после знака дифференциала d
в конце записи интеграла) . Тогда u
и v
являются функциями от x
:
u(x)
и v(x)
.
Тогда
, .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.
То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u: g(x) = u
,
а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx
.
В некоторых случаях f(x) = 1
.
То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v
.
Резюме
Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.
Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям
Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции
По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u , оставшуюся часть - через dv .
Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
, , , , , , .
Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e x
По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
, , ,
где P(x)
– многочлен от x
.
При интегрировании, многочлен P(x)
обозначают через u
,
а e ax dx
,
cos
ax dx
или sin
ax dx
- через dv
.
Вот примеры таких интегралов:
, , .
Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Пример
Вычислить интеграл:
Подробное решение
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln
x
,
dv = x 2
dx
.
Тогда
,
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C
,
поскольку неопределенный интеграл - это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.
Более короткое решение
Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v , а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.
.Другие примеры
Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex
Пример
Вычислить интеграл:
.
Введем экспоненту под знак дифференциала:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x)
.
Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем.