Определение ширины запрещенной зоны из температурной зависимости электропроводности полупроводников. Определение удельного сопротивления полупроводников Температурная зависимость

Собственная проводимость имеет место в хорошо очищенных полупроводниках, когда примеси не оказывает влияния на электрические свойства. При абсолютном нуле температуры валентная зона полностью заполнена электронами, в зоне проводимости все уровни свободны и электропроводность отсутствует. При повышении температуры начинается тепловая генерация свободных носителей заряда. Электроны, получая от тепловых колебаний решетки энергию достаточную для преодоления запрещенной зоны шириной , перебрасываются из валентной зоны проводимости (рисунок 72.2), образуя в валентной зоне равное количество дырок. Переходы происходят при любой температуре .

Тепловая генерация носителей заряда в собственном полупроводнике.

		W C
	●

W c – дно зоны проводимости; W V – потолок валентной зоны; ∆W – ширина запрещенной зоны; , ○ – электрон и дырка

Рисунок 72.2

Объяснение переходов при связано со статическим распределением энергии между атомами тела (энергия тепловых колебаний отдельных атомов в течение некоторых промежутков времени может быть и больше ее среднего значения). Наряду с возбуждением носителей происходят и обратные процессы их рекомбинации, заключающиеся в возвращении электронов из зоны проводимости в валентную зону. При этом исчезают пары «электрон-дырка». Процесс генерации свободных носителей зарядов уравновешиваются процессом рекомбинации, и при каждой установившейся температуре кристалл находится в состоянии термодинамического равновесия, имея концентрацию носителей заряда, соответствующей данной температуре. Статистический расчет показывает, что концентрация электронов n, а, следовательно, и концентрация дырок p, быстро растут с повышением температуры по экспоненциальному закону

где А – постоянная, характерная для данного полупроводника, в первом приближении не зависящая от температуры; е – основание натурального логарифма; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура.

Например, в чистом кремнии, такая зависимость обеспечивает рост концентрации электронов от при нагреве от комнатной температуры до температуры электронов .

В собственном полупроводнике удельная электропроводность:

где е – заряд электрона; – подвижность электронов; – подвижность электронов.

Подвижность носителей заряда, представляющая собой скорость дрейфа их в электрическом поле единичной напряженности, в полупроводниках также зависит от температуры. Наиболее часто в области низких температур подвижность растет вследствие рассеяния на примесях, в области высоких температур, где преобладает рассеяние на тепловых колебаниях решетки – убывает с ростом Т. Типичный график зависимости приведен на рисунке 72.3. Однако температурная зависимость концентрации носителей заряда в полупроводниках обычно намного более сильная, чем зависимость подвижности от температуры. Поэтому температурной зависимостью подвижности можно пренебречь и считать, что изменение электропроводимости с температурной определяются только изменением концентрации носителей заряда. Из формул (1) и (2) для зависимости удельной электропроводности от температуры следует выражение

где – коэффициент, характерный для данного полупроводникового материала и представляющего собой при .

Рисунок 72.3

Зависимость удобно изображать в полулогарифмическом масштабе. Действительно

это выражение в координатах и дает прямую, наклон которой определяется величиной W. Графики и для собственного полупроводника даны на рисунок 72.4.

Рисунок 72.4

Сопротивление R образца длиной и площадью поперечного сечения S выражается через удельное сопротивление :

Тогда, согласно (72.3),

График для собственного полупроводника представляет собой прямую линию, наклон которой тем больше, чем шире запрещенная зона полупроводника. На рисунок 72.5 прямым 1,2,3 соответствуют полупроводники, для которых .

Рисунок 72.5

Примеси и дефекты решетки существенным образом влияют на электрические свойства полупроводников. Например, добавление в кремний бора в количестве одного атома на атомов кремния увеличивает проводимость при комнатной температуре в тысячу раз по сравнению с чистым кремнием.

Статистические расчеты показали, что концентрация основных носителей заряда (электронов в полупроводниках n-типа и дырок в полупроводниках p-типа) в области примесной проводимости также растет по экспоненциальному закону.

где – энергия ионизации примеси; и – коэффициенты, определяемые соответственно концентрациями атомов доноров и акцепторов.

Концентрации неосновных носителей заряда намного ниже, причем при любой температуре.

где – собственная концентрация носителей заряда при этой температуре в данном полупроводнике. Таким образом, чем больше n, тем меньше p и наоборот.

Ввиду более слабой зависимости подвижности от температуры, чем концентрации от температуры, и в области примесной проводимости зависимость также определяется температурным ходом концентрации

где – постоянная, определяемая полупроводниковым материалом и концентрацией примеси в нем.

Логарифмируя (72.9), получим

На рисунке 72.6 приведен график зависимости удельной электропроводности примесного полупроводника в широком диапазоне температур полулогарифмических координатах.

Температурная зависимость электропроводимости примесного полупроводника.

Рисунок 72.6

На этом графике можно выделить три участка. 1 - участок примесной проводимости, при которой концентрация основных носителей заряда растет за счет ионизации примесных уровней. Наклон прямой определяется энергией ионизации примеси. При температуре Т s все примеси оказываются ионизированными и далее до Т i концентрация основных носителей заряда сохраняются приблизительно постоянной и равной концентрации примесных атомов – участок 2. Температурная зависимость в этой области, когда , определяется температурной зависимостью подвижности. При температурах (3 участок) генерируется пары «электрон-дырка» и наклон прямой определяется шириной запрещенной зоны .

Если образцы одного и того же полупроводникового материала легированы различным количеством одинаковой примеси, то при увеличении концентрации примеси (концентрация растет с увеличением порядкового номера кривой на рисунок 72.7) значения в области примесной проводимости возрастают, истощение примеси и перехода от примесной к собственной проводимости смещаются в сторону более высоких температур. При больших концентрациях примесных атомов они остаются не полностью ионизированы вплоть до температуры, при которой начинает преобладать собственная проводимость (кривая 4).

Зависимость электропроводности полупроводников от температуры при различных содержаниях примеси.

Зонная структура полупроводников такова, что при низких температурах у них разрешенная зона валентных электронов полностью заполнена электронами, а ближайшая свободная зона проводимости отделена от нее запрещенной зоной некоторой величины и пуста. Перевод электрона в зону проводимости может быть осуществлен за счет энергии теплового движения, света или корпускулярного излучения. Если электрон каким-либо способом переведен в зону проводимости, то он может осуществлять перенос заряда. После переброски электронов в валентной зоне остаются пустые места – незаполненные состояния электронов, в результате чего остальные электроны получают возможность перемещаться под действием электрического поля, т.е. также вносят вклад в ток. При описании такого движения электронов удобнее рассматривать движение не самих электронов, а пустых мест, называемых дырками. Дырки ведут себя как положительные носители тока с зарядом +е, равным по абсолютной величине заряду электрона и отличающимся от него знаком. Если дырки образуются за счет переброса электронов из валентной зоны в зону проводимости, то число электронов в полупроводнике равно числу дырок. Такой полупроводник называется собственным (рис. 2.4, а).

Рис. 2.4. Энергетические диаграммы полупроводника:

а) собственный; б) электронный; в) дырочный;

Е С – дно зоны проводимости; E V –потолок запрещенной зоны; Е д – донорный уровень, Е а – акцепторный уровень

Однако в любом кристалле имеются различные дефекты – чужеродные атомы, пустые узлы – вакансии, дислокации и т.п. Локализованный вблизи дефекта электрон имеет энергию, попадающую как раз в запрещенную зону, в результате чего в запрещенной зоне образуется примесный уровень. Если такой уровень лежит недалеко от зоны проводимости, то уже при небольшом повышении температуры электроны будут переходить с уровней в зону, в результате чего они получают возможность двигаться по кристаллу.

Полупроводник, у которого электроны в зоне образуются вследствие их перехода с примесных уровней, называется примесным электронным полупроводником (рис. 2.4, б). В полупроводнике могут быть локальные уровни, которые в нормальном состоянии не заняты электронами. Если такие уровни находятся близко от края валентной зоны, то при повышении температуры электроны валентной зоны могут захватываться ими, вследствие чего в валентной зоне образуются подвижные дырки. Полупроводник с таким типом примесной проводимости – дырочный полупроводник (рис. 2.4, в).

Таким образом, носителями тока в полупроводнике являются электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне, а электропроводность полупроводника может быть выражена следующим образом:

где , – подвижности носителей заряда;

n , p – концентрации электронов и дырок соответственно;

e – заряд электрона.

Таким образом, для нахождения зависимости электропроводности от температуры необходимо выяснить, как меняются концентрации носителей тока и их подвижность с изменением температуры.

Электроны проводимости в полупроводниках подчиняются функции распределения Ферми-Дирака:

которая выражает вероятность того, что электрон находится в квантовом состоянии с энергией Е при температуре Т . Здесь E F – энергия Ферми, k – постоянная Больцмана.

Электропроводность собственного полупроводника определяется электронами в зоне проводимости. Их концентрация может быть определена числом всех занятых электронами состояний n (E ) в зоне проводимости:

где g (E ) – плотность квантовых состояний;

f (E ) – функция Ферми-Дирака;

E c – уровень энергии, соответствующий дну зоны проводимости.

Окончательное выражение для температурной зависимости концентрации электронов в зоне проводимости собственного полупроводника имеет вид:

где N V , N C – эффективная плотность состояний в валентной зоне, зоне проводимости.

Теперь рассмотрим влияние температуры на подвижность носителей заряда. Известно, что величина подвижности определяется длиной свободного пробега электронов, т.е. процессами рассеяния носителей заряда в полупроводнике:

где – средняя длина свободного пробега электрона;

– средняя скорость теплового движения;

m * – эффективная масса носителя;

В – некоторый коэффициент;

ζ – принимает значения 1/2, 3/2, 5/2 в зависимости от типа кристаллической решетки.

Общий ход изменения проводимости с температурой можно записать в виде:

В этом выражении множитель медленно изменяется с температурой, тогда как экспонента сильно зависит от температуры, E g >>kT . Поэтому для не слишком высоких температур и выражение (2.6) можно заменить более простым

Если уравнение (2.7) построить графически в координатах ln σ от Т -1 .

то ширина запрещенной зоны E g может быть определена из наклона этой линейной зависимости (рис. 2.5, а).

Рис. 2.5. Графики электропроводности полупроводника:

а – собственная электропроводность; б – примесная электропроводность

При наличии в полупроводниках примесей к собственной проводимости добавляется примесная проводимость, и тогда электропроводимость σ можно представить как сумму собственной и примесной проводимостей:

где ΔE – энергия ионизации примеси.

Обычно ширина запрещенной зоны много больше энергии ионизации примеси, т.е. E g >>ΔE . Значит, в области низких температур мало количество электронов, освобождаемых атомами решетки. Поэтому при низких температурах электропроводность примесного полупроводника будет в основном обусловлена электронами примеси. При достаточно высокой температуре практически все атомы будут ионизированы, и действительное возрастание проводимости будет происходить лишь за счет собственных электронов полупроводника. Идеальный график для примесного полупроводника (рис. 2.5, б) изображается ломаной линией, имеющей два прямолинейных участка, отвечающих электропроводности основной решетки и примеси.

Таким образом, по наклону прямых можно определить ширину запрещенной зоны E g и энергию ионизации примесей. Действительно, тангенс угла наклона прямой (рис. 2.5)

Аналогично определяется ΔE .

Реальный график зависимости ln σ =f(T -1) имеет более сложный характер, поэтому угол наклона лучше отсчитывать по касательным, проведенным к графику в область низких и высоких температур.

29. Зависимость электропроводности металлов от температуры.

Неупорядоченные сплавы металлов не имеют четкого че­редования ионов различных видов, образующих сплав. Бла­годаря этому, средняя длина свободного пробега электрона очень невелика, так как он рассеивается на часто встречаю­щихся нарушениях дальнего порядка кристаллической решет­ки сплава. В этом смысле можно говорить об аналогии про­цессов рассеяния электронов в неупорядоченных сплавах и фононов в аморфных телах. На рис. 18.1, а показана зависи­мость от температуры параметров, определяющих тепло- и электропроводность металла.Теплопроводность таких материалов невелика и монотон­но растет с температурой вплоть до значений , а элек­тропроводность остается практически постоянной в широком интервале температур. Сплавы широко используются как ма­териалы с весьма малым ТКС (температурный коэффициент сопротивления). Стабильность сопротивления объясняется тем, что основным процессом рассеяния является рассеяние на дефектах, параметры которого практически не зависят от температуры.

б) Моно- и поликристаллические металлы

На рис. 18.1,6 показана температурная зависимость ос­новных параметров, определяющих тепло- и электропроводность металлов. Основные механизмы рассеяния, участвующие в формировании сопротивления переносу тепла и заряда,- это электрон-фононное рассеяние и рассеяние электронов на дефектах. Электрон-фононное рассеяние,. то есть рассеяние электронов на тепловых флюктуациях кристаллической решетки, играет решающую роль при достаточно высоких тем­пературах. Эта область значений Т соответствует области I (рис. 18.1,6). В низкотемпературной области решающую роль играет рассеяние на дефектах. Заметим, что теплопроводность металла в низкотемпературной области пропорциональна Т, а не , как в случае диэлектриков.

Электропроводность металла монотонно растет с уменьшением температуры, достигая в некоторых случаях (чистые ме­таллы, монокристаллы) огромных значений. Теплопровод­ность металла имеет максимум при и также может иметь большую величину.
30. Зависимость теплопроводности диэлектриков от температуры.

В аморфных телах длина свободного пробега фононов очень мала и имеет величину порядка 10-15 Ангстрем. Это связано с сильным рассеянием волн в решетке вещества на неоднородностях структуры самой решетки аморфного тела. Рассеяние на неоднородностях структуры оказывается преобладающим в широком интервале температур от единиц градусов Кельвина до температуры размягчения аморфного тела. При очень низких температурах в спектре тепловых ко­лебаний исчезают высокочастотные фононы; низкочастотные длинноволновые фононы не испытывают сильного рассеяния на неоднородностях, размер которых меньше длины волны, и поэтому при очень низких температурах среднее время сво­бодного пробега несколько возрастает. В соответствии с кине­тической формулой зависимость коэффициента тепло­проводности от температуры определяется в основном тем­пературным ходом теплоемкости. На рис. 17.1, а показан тем­пературный ход , С v и х для аморфных диэлектриков.

Теплопроводность диэлектрических монокристаллов не мо­жет быть рассмотрена только с позиций рассеяния фононов на дефектах кристаллической решетки. В этом случае ре­шающую роль играют процессы взаимодействия фононов между собой. Говоря о вкладе фонон-фононного взаимодейст­вия в процессах теплопереноса, нужно четко различать роль нормальных процессов (N-процессов) и процессов переброса (U-процессов).

При N-процессах фонон, возникший в результате акта взаимодействия, сохраняет квазиимпульс двух фононов, его породивших: . То же происходит и при N-процессах распада одного фонона на два. Таким образом, при N -про­цессах происходит перераспределение энергии между фононами, но сохраняется их квазиимпульс, т. е. сохраняется на­правленность движения и сохраняется общая сумма энергии, переносимой в данном направлении. Перераспределение энергии между фононами не влияет на перенос тепла, так как тепловая энергия не связана с фононами определенной частоты. Таким образом, N-процессы не создают сопротивления тепловому потоку. Они только выравнивают распределение энергии между фононами разной частоты, если такое распределение может быть нару­шено другими взаимодействиями.

Иначе обстоит дело с U-процессами, при которых в ре­зультате взаимодействия двух фононов рождается третий, на­правление распространения которого может оказаться проти­воположным направлению распространения исходных фоно­нов. Другими словами, в результате U-процессов могут воз­никать элементарные тепловые потоки, направленные в об­ратную сторону по отношению к основному потоку. В силу этого U-процессы создают тепловое сопротивление, которое при не очень низкой температуре может оказаться решающим.

При достаточно большой температуре средняя длина сво­бодного пробега фононов, определяемая U-процессами, обрат­но пропорциональна температуре, При уменьшении темпера­туры величины и растут по закону .

U-процессы возникают тогда, когда суммарный волновой вектор выходит за пределы зоны Бриллюэна.

При начинает сказываться уменьшение возбуждения высококачественных фононов, для которых Бла­годаря этому начинает резко падать число фононов, способ­ных участвовать в процессах переброса. Поэтому и начи­нают расти с уменьшением Т гораздо быстрее, чем .С уменьшением температуры средняя длина свободного про­бега растет вплоть до тех значений, при которых заметно сказывается рассеяние на дефектах или границах образца. На рис. 17.1,6 показан ход зависимостей , С v и х от темпе­ратуры. Температурную зависимость коэффициента теплопро­водности х можно разделить на три участка: I – высокотемпературная область, , решающую роль в об­разовании теплового сопротивления играют U-процессы. II- область максимума теплопроводности, эта область обычно ле­жит при Т . III - низкотемпературная область, в этой области тепловое сопротивление определяется рассеянием на дефектах, , что задается температурным ходом емкости.

Основная особенность полупроводника состоит в том, что электрическая проводимость его является примесной в области низких температур и собственной - в области высоких. Температурный ход проводимости полупроводников определяется температурной зависимостью концентрации и частично подвижности носителей. В области собственной проводимости, температурная зависимость электропроводности определяется в основном температурной зависимостью концентрации носителей заряда, которая пропорциональна , а слабой зависимостью подвижности от температуры можно пренебречь. Так как концентрация носителей в собственном полупроводнике равна , а проводимость собственного полупроводника равна , то собственную проводимость полупроводника можно представить в виде или , (25)

где – коэффициент, слабо зависящий от температуры, так как плотности состояний N C и N V в зоне проводимости и валентной зоне соответственно, а также подвижности электронов μ n и дырок μ р также слабо зависят от температуры.

Аналогично для примесной проводимости имеем:

где С 1 – некоторый коэффициент, слабо зависящий от температуры, ΔЕ пр – энергия ионизации примеси.

Удельная электропроводность полупроводника равна сумме собственной и примесной проводимости: γ = γ i + γ пр. При сравнительно низких температурах (комнатных) преобладает примесная проводимость γ ≈ γ пр, а при высоких температурах все примесные центры ионизированы (примесное истощение) и начинает преобладать собственная проводимость. Тогдаγ ≈ γ i . Иллюстрировать температурную зависимость проводимости полупроводника удобно с помощью графика, где на оси ординат отложено значение lnγ, а на оси абсцисс – 1/Т . Прологарифмировав γиз формулы (25), получим выражение:

График зависимости lnγ от 1/Т будет иметь вид ломанной линии (рис. 16). В области низких температур в полупроводнике имеет место примесная проводимость (участок 1…2), увеличение которой с ростом температуры определяется возрастанием концентрации примесных носителей заряда в результате тепловой ионизации примесей. Участок 2…3 (участок примесного насыщения) соответствует температурам, при которых все атомы примеси ионизированы, а собственная проводимость еще очень мала; в результате уменьшении подвижности носителей с ростом температуры из-за рассеяния на тепловых колебаниях решетки, проводимость полупроводника незначительно уменьшается. Для полупроводников с высокой концентрацией примесей, имеющих небольшие значения энергии ионизации ΔЕ пр (как, например, примеси элементов пятой и третьей групп в германии и кремнии, для которых ΔЕ пр составляет сотые доли электрон-вольта), температурная зависимость подвижности несущественна. Дальнейшее повышение температуры вызывает более резкое увеличение электропроводности, что связано с тепловой генерацией собственных электронов и дырок (участок 3…4). На графике (см. рис. 16) случай а соответствует высокой концентрации примеси в полупроводнике (германий), случай b – более низкой концентрации, а случай c соответствует полупроводнику (кремнию) с шириной запрещенной зоны большей, чем у германия. Участок 2…3 играет очень важную роль в работе полупроводниковых приборов, так как соответствует области рабочих температур. Работа многих полупроводниковых приборов нарушается при наступлении собственной электропроводности, поэтому стараются использовать широкозонные полупроводники, такие, чтобы участок 2…3 был как можно больше. В кремнии, например, участку примесного насыщения соответствует диапазон температур от 100 до 500 К.

Температурная зависимость электропроводности полупроводника используется для приближенного определения ширины запрещенной зоны полупроводника Е g и иногда для определения энергии ионизации примесей ΔЕ пр. Используя формулу (27) и взяв на участке собственной проводимости (участок 3…4) значения 1/Т 1 и 1/Т 2 и соответствующие им значения lnγ 1 и lnγ 2 , получаем систему двух уравнений

решая которую относительно Е g , получим формулу

Аналогично, взяв на участке примесной проводимости, если он ясно выражен, температуры 1/Т 3 и 1/Т 4 и соответствующие им значения lnγ 3 и lnγ 4 , получим формулу для вычисления энергии ионизации примеси.

Поскольку электроны и дырки в полупроводнике представляют собой невырожденную систему, то его проводимость можно рассматривать с классической точки зрения. Выражение для плотности тока в скалярном виде записывается как

где n и p – концентрации электронов и дырок, u n и u p – их дрейфовые скорости. При не слишком высоких значениях напряженности поля эти скорости пропорциональны ее величине.

Здесь b n и b p – подвижности электронов и дырок соответственно.

Для проводимости металлов в классической теории была получена формула , где в знаменателе стоит масса свободного электрона. С другой стороны из (8) и (9) можно получить проводимость в виде . Приравнивая эти выражения для проводимости, получим

, (10)

где время свободного пробега τ выражено через среднюю длину свободного пробега и среднюю квадратическую скорость теплового движения электронов υ. Выражение (10) справедливо для электронов и дырок в полупроводнике, если под массой подразумевать их эффективные массы.

В области высоких температур рассеяние носителей происходит преимущественно на тепловых колебаниях решетки, т.е. фононах. Длина пробега носителей обратно пропорциональна температуре . Кроме того тепловая скорость электронов υ пропорциональна корню из температуры . Тогда подвижность .

При низких температурах рассеяние носителей происходит в основном на ионизированных примесных атомах. Этот процесс похож на рассеяние частиц на ядрах, подробно изученное Э. Резерфордом. Заряженная частица, пролетая мимо ядра, отклоняется от первоначального направления движения так, что траектория имеет вид гиперболы. Длина свободного пробега пропорциональна четвертой степени скорости . Кроме того, длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации примесей N , поскольку чем больше примесных ионов, тем чаще носитель взаимодействует с ними. Тогда подвижность пропорциональна температуре в степени 3/2. .

Как было показано выше. удельная проводимость может быть записана в виде . Зависимость этой величины от температуры обусловлена соответствующими зависимостями концентрации носителей и их подвижностей. Зависимость подвижностей при всех температурах является степенной. В тех температурных интервалах, когда концентрация носителей имеет экспоненциальную зависимость от температуры, именно она определяет результирующую зависимость проводимости от температуры.

Концентрации электронов и дырок в собственном полупроводнике имеют выражение:

, (11)

Если полупроводник легирован примесями иной валентности, то концентрации электронов и дырок в электронном и дырочном полупроводниках даются выражениями:

, (12)

. (13)

Здесь E d и N d – энергия активации примеси (разность энергии дна зоны проводимости и донорного уровня) и концентрация донорных примесных атомов соответственно, E g – ширина запрещенной зоны. Эффективные массы электронов и дырок обозначаются как m n и m p .

Из всего сказанного можно сделать вывод, что зависимость удельной проводимости от температуры имеет характер

(14)

при низких температурах, когда осуществляется ионизация примесей, либо

(15)

при высоких температурах, когда интенсивно генерируются собственные носители.

Энергии активации определяются по наклону прямолинейного участка графика зависимости от обратной температуры T –1 . Это либо расстояние от примесного уровня до границы зоны, либо ширина запрещенной зоны.