Тема 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства (11ч)
Тема урока. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.
Цель урока: Сформировать навыки решения показательных и логарифмических неравенств, способом сведения к простейшим, заменой неизвестного.
Задачи:
Образовательные: повторить и закрепить знания по теме «решение простейших показательных и логарифмических неравенств», научиться решать логарифмические и показательные неравенства методом замены.
Развивающие: формировать умение ученика выделять два тип неравенства и определять способы их решения (логическое и интуитивное мышление, обоснование суждений, классификация, сравнение), формировать навыки самоконтроля и самопроверки, умение двигаться по заданному алгоритму, оценивать и корректировать полученный результат.
Воспитательные: продолжить формирование таких качеств учащихся как: умение слушать друг друга; умение осуществлять взаимоконтроль и самооценку.
Тип урока: комбинированный.
Учебник Алгебра 10 класс С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин
Ход урока
Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Актуализация опорных знаний.
Фронтально:
1. Какие неравенства называются простейшими показательными неравенствами?
2. Объясните, в чем заключается смысл решения простейших показательных неравенств.
3. Какие неравенства называются простейшими логарифмическими неравенствами?
4. Объясните, в чем заключается смысл решения простейших логарифмических неравенств.
С записью на доске (по 1 ученику):
Решите неравенства
2х<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Объяснение нового материала и его поэтапное закрепление.
1.1. Объяснение нового материала.
1. Решите неравенство:
2х2-3х<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, то
t<-2Обратная замена:
х2-3х<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Нас интересует знак "−−".Тогда получаем
Ответ:x∈(1;2)
2. Решите неравенство

1.2. Поэтапное закрепление.
№ 6.49(а, в).
№ 6.52(д).
а) 74х2-9х+6>74х2-9х+6>14х2-9х+5>0x1=5/4 x2=1
Ответ: -∞;1∪54;+∞в) (13)5х2-4х-3>95х2-4х-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Ответ: -15;1д) log5х2-2х-3<1
log5х2-2х-300<х2-2х-3<5х2-2х-3<5х2-2х-3>0 х2-2х-8<0х2-2х-3>0

Ответ: -2;-1∪3;42.1. Объяснение нового материала.
3. Решите неравенство

То 1 неравенство имеет смысл при всех х, а второе

2.2. Поэтапное закрепление.
Решить неравенство № 6.56(в)
3.1. Объяснение нового материала.
4. Решите неравенство

3.2. Поэтапное закрепление.
Решить неравенство № 6.60(а)
Подведение итогов урока.
Рефлексия.
Домашнее задание.
П. 6.6
№6.49 (б, г)
№ 6.52 (а, б)
№ 6.56 (д)
№ 6.60 (б)

Приложенные файлы

Место работы, должность: — МОУ-СОШ р.п. Пушкино, учитель

Регион: — Саратовская область

Характеристики урока (занятия) Уровень образования: — среднее (полное) общее образование

Целевая аудитория: — Учащийся (студент)
Целевая аудитория: — Учитель (преподаватель)

Класс(ы): — 10 класс

Предмет(ы): — Алгебра

Цель урока: — дидактическая: совершенствовать основные приёмы и методы решения логарифмических и показательных неравенств и обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения показательных и логарифмических неравенств; развивающая: развивать логические мышление, память, познавательный интерес, продолжить формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать; воспитательная: приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие.

Тип урока: — Урок обобщения и систематизации знаний

Учащихся в классе (аудитории): — 25

Краткое описание: — Решение показательных и логарифмических неравенств считается одной из сложных тем математики и требует от учащихся хороших теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия и сообразительности. Тема, рассмотренная на уроке также выносится на вступительные экзамены в ВУЗы и на выпускные экзамены. Данный тип урока развивает логическое мышление, память, познавательный интерес, способствует выработке умения анализировать, сравнивать и выслушивать других.

Этапы урокаи их содержание

Время

(мин)

деятельность

учителя

учащегося

1.Организационный этап

организационная

Сообщают об отсутствующих.

2.Постановка цели

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать изученныеосновные методы и способырешения показательных и логарифмических неравенств, а также рассмотрим и другие способы решения логарифмических и показательных неравенств:это ипереход к рациональным неравенствам путемзамены неизвестного а также способ деления обеих частей неравенства на положительное число.

Сообщает тему урока, дату проведения урока, цель урока

Записывают в тетради

3.Проверка домашнего задания

Вызывает по желанию учащихся 3 человека к доске, параллельно проводит фронтальную беседу по теоретическим вопросам

Четыречеловека работают у доски, остальные принимают участие в теоретическом опросе

На дом вам было предложено решить логарифмические и показательные неравенства по двум уровням сложности. Посмотримрешениенекоторых из ниху доски

6.49(а); 6.52(г) 6.56(б),6.54(б).

4.Актуализация знаний учащихся

Давайте вспомним, какие способы мы разобрали на прошлом уроке.

Сегодня мы рассмотримнеравенства, которые после введения нового неизвестного превращается в рациональные неравенства.

Для этого вспомним,что является решением рационального неравенства видаА(х) / В(х)>0? Какой метод используется при решении рациональных неравенств?

5.Совершенствование знаний и умений учащихся

хх

Пример1)2 - 9 / (2 -1)0

3 мин

х +0,5хх +0,5

3). 25- 710+4>0

3 мин

5).Закрепление нового.

Выполнение упражнений у доски

6.48(.г);6.58 (б);6.59(б) -у доски 6.62(в)

Направляет на выбор рационального метода решения. следит за грамотностью рассуждения и верной записью решения неравенства. Выставляет оценку за работу

Один ученик решает у доски. Остальныезаписывают решение в тетрадь.

6) Дифференцированная самостоятельная работа (Задание на экране)

1 уровень:

1 вариант2 вариант

№6.48(б);№6.48(е);

№6.58(а) ;№ 6.58(в)

2 уровень:

1 вариант2 вариант

№6.61(б);№6.61(г);

№6.62(в) ;№ 6.62(г).

5 мин

2 человека индивидуально работают на боковой доске. Остальные выполняют разноуровневую самостоятельную работу на местах

7)Проверка самостоятельной работы

3 мин

8)Домашнее задание (на экране)

1 уровеньп.6.6;№ 6.48(а.);№6.57(1 ст);№6.50(а).

2 уровень: п.6.6;№6.59(в); №6.62(а);№158(стр.382);№168(а,б) (стр.383)

2 мин

Поясняет домашнее задание, обращая внимание учащихся на то, что аналогичные задания были разобраны в классе.

Два последних задания были предложены при поступлении в МГУ и МТИТФ.

Внимательно прослушав учителя, записывают домашнее задание. Уровень сложности выбирают сами.

8) Подведение итогов урока: Решение показательных и логарифмических неравенствсчитается одной из сложных тем школьного курса математики и требует от учащихся хороших теоретических знаний, умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности, именно по этой причине неравенства, рассмотренные на уроке выносятсяна вступительные экзамены в ВУЗы и на выпускные экзамены.Сегодня на уроке все очень хорошо поработали и получили следующие отметки

Всем спасибо.

2 мин

Файлы:
Размер файла: 6789120 байт.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. Никольский С.М. и др.

Базовый и профильный уровни

8-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 430 с.

Учебник соответствует федеральным компонентам государственного стандарта общего образования по математике и содержит материал как для базового, так и для профильного уровня. По нему можно работать независимо от того, по каким учебникам учились школьники в предыдущие годы.

Учебник нацелен на подготовку учащихся к поступлению в вузы.

Формат: djvu

Размер: 15,2 Мб

Смотреть, скачать: drive.google ; Rghost

Формат: pdf

Размер: 42,3 Мб

Смотреть, скачать: drive.google ; Rghost

Примечание: В PDF качество лучше, почти отличное. Сделано из одного и того же скана, 150 dpi , цветной. Но в DJVU получается немного хуже. Это тот случай, когда размер имеет значение.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. КОРНИ, СТЕПЕНИ, ЛОГАРИФМЫ
§ 1. Действительные числа 3
1.1. Понятие действительного числа 3
1.2. Множества чисел. Свойства действительных чисел. ... 10
1.3*. Метод математической индукции 16
1.4. Перестановки 22
1.5. Размещения 25
1.6. Сочетания 27
1.7*. Доказательство числовых неравенств 30
1.8*. Делимость целых чисел 35
1.9*. Сравнения по модулю т 38
1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными 40
§ 2. Рациональные уравнения и неравенства 44
2.1. Рациональные выражения 44
2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней. . 48
2.3*. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида... 53
2.4*. Теорема Безу 57
2.5*. Корень многочлена 60
2.6. Рациональные уравнения 65
2.7. Системы рациональных уравнений 70
2.8. Метод интервалов решения неравенств 75
2.9. Рациональные неравенства 79
2.10. Нестрогие неравенства 84
2.11. Системы рациональных неравенств 88
§ 3. Корень степени n 93
3.1. Понятие функции и ее графика 93
3.2. Функция у = х" 96
3.3. Понятие корня степени п 100
3.4. Корни четной и нечетной степеней 102
3.5. Арифметический корень 106
3.6. Свойства корней степени л 111
3.7*. Функция у = nх (х > 0) 114
3.8*. Функция у = nVx 117
3.9*. Корень степени п из натурального числа 119
§ 4. Степень положительного числа 122
4.1. Степень с рациональным показателем 122
4.2. Свойства степени с рациональным показателем 125
4.3. Понятие предела последовательности 131
4.4*. Свойства пределов 134
4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. . . 137
4.6. Число е 140
4.7. Понятие степени с иррациональным показателем.... 142
4.8. Показательная функция 144
§ 5. Логарифмы 148
5.1. Понятие логарифма 148
5.2. Свойства логарифмов 151
5.3. Логарифмическая функция 155
5.4*. Десятичные логарифмы 157
5.5*. Степенные функции 159
§ 6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. . 164
6.1. Простейшие показательные уравнения 164
6.2. Простейшие логарифмические уравнения 166
6.3. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного 169
6.4. Простейшие показательные неравенства 173
6.5. Простейшие логарифмические неравенства 178
6.6. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного 182
Исторические сведения 187
ГЛАВА II. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 7. Синус и косинус угла 193
7.1. Понятие угла 193
7.2. Радианная мера угла 200
7.3. Определение синуса и косинуса угла 203
7.4. Основные формулы для sin а и cos a 211
7.5. Арксинус 216
7.6. Арккосинус 221
7.7*. Примеры использования арксинуса и арккосинуса.... 225
7.8*. Формулы для арксинуса и арккосинуса 231
§ 8. Тангенс и котангенс угла 233
8.1. Определение тангенса и котангенса угла 233
8.2. Основные формулы для tg а и ctg а 239
8.3. Арктангенс 243
8.4*. Арккотангенс 246
8.5*. Примеры использования арктангенса и арккотангенса. . 249
8.6*. Формулы для арктангенса и арккотангенса 255
§ 9. Формулы сложения 258
9.1. Косинус разности и косинус суммы двух углов 258
9.2. Формулы для дополнительных углов 262
9.3. Синус суммы и синус разности двух углов 264
9.4. Сумма и разность синусов и косинусов 266
9.5. Формулы для двойных и половинных углов 268
9.6*. Произведение синусов и косинусов 273
9.7*. Формулы для тангенсов 275
§ 10. Тригонометрические функции числового аргумента 280
10.1. Функция у = sin х 281
10.2. Функция у = cos х 285
10.3. Функция у = tg * 288
10.4. Функция у = ctg х 292
§ 11. Тригонометрические уравнения и неравенства 295
11.1. Простейшие тригонометрические уравнения 295
11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного 299
11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений 303
11.4. Однородные уравнения 307
11.5*. Простейшие неравенства для синуса и косинуса.... 310
11.6*. Простейшие неравенства для тангенса и котангенса. . . 315
11.7*. Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного 319
11.8*. Введение вспомогательного угла 322
11.9*. Замена неизвестного t = sin х + cos х 327
Исторические сведения 330
ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 12. Вероятность события 333
12.1. Понятие вероятности события 333
12.2. Свойства вероятностей событий 338
§ 13*. Частота. Условная вероятность 342
13.1*. Относительная частота события 342
13.2*. Условная вероятность. Независимые события 344
§ 14*. Математическое ожидание. Закон больших чисел 348
14.1*. Математическое ожидание 348
14.2*. Сложный опыт 353
14.3*. Формула Бернулли. Закон больших чисел 355
Исторические сведения 359
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 362
Предметный указатель 407
Ответы 410

Учитель математики МОУ – СОШ №2 р.п.Степное Труфякова Галина Ивановна сайт

Слайд 2

Аннотация урока

Тема « Показательные неравенства» является важнейшей темой математики. По учебнику С. М. Никольского она изучается в 10 классе и на её изучение по планированию отводится 2 часа: 1час-Простейшие показательные неравенства; 1 час – Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. За это время нужно познакомить учащихся с новым и очень объёмным материалом, научить их решать все типы показательных неравенств и хорошо отработать эти навыки и умения.Поэтому уроки формирования новых знаний в виде лекций с применением информационно-коммуникационной технологии позволяют решать эти проблемы быстро и с большим успехом.

Слайд 3

Слайд 4

Альберт Эйнштейн

« Мне приходится делить своё время между политикой и решением уравнений и неравенств. Однако решение уравнений и неравенств, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения и неравенства будут существовать вечно.»

Слайд 5

Структура урока

Организационный момент Постановка целей и задач План лекции Актуализация знаний учащихся в виде повторения ранее изученного материала Введение новых знаний Закрепление знаний в форме собеседования Подведение итогов урока Домашнее задание

Слайд 6

Организационный момент

Приветствовать учащихся Отметить в классном журнале фамилии учащихся, отсутствующих на уроке

Слайд 7

Постановка целей и задач

Объявить учащимся в начале урока его цели и задачи Познакомить учащихся с планом лекции и записать его в тетради

Слайд 8

Цели урока

Образовательные Формирование понятия показательного неравенства Ознакомление учащихся с типами показательных неравенств Формирование умений и навыков решения показательных неравенств

Слайд 9

Воспитательные Воспитание трудолюбия Воспитание самостоятельности в достижении цели Формирование вычислительных навыков Формирование эстетических навыков при оформлении записей

Слайд 10

Развивающие Развитие мыслительной деятельности Развитие творческой инициативы Развитие познавательной активности Развитие речи и памяти

Слайд 11

Задачи урока

Повторить свойства показательной функции Повторить правила решения квадратных и дробно – рациональных неравенств Отработать алгоритм решения простейших показательных неравенств Научить учащихся различать типы показательных неравенств Научить учащихся решать показательные неравенства

Слайд 12

Тип урока

Урок формирования новых знаний

Слайд 13

Вид урока

Урок - лекция

Слайд 14

Методы обучения

Объяснительно-иллюстративный Эвристический Поисковый Проблемный

Слайд 15

Технология обучения

Информационно-коммуникационная технология, основанная на проблемном обучении

Слайд 16

План лекции

Повторение свойств показательной функции Простейшие показательные неравенства Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным неравенствам Однородные показательные неравенства первой степени Однородные показательные неравенства второй степени Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным неравенствам Показательные нестандартные неравенства

Слайд 17

Повторение ранее изученного материала

Решить на доске и в тетрадях: а) квадратные неравенства: х² – 2х – 1≥0 х² – 2х - 3 ≤0 б) дробно- рациональное неравенство: (х – 5) \ (х - 2) ≤ 0

Слайд 18

Повторение свойств показательной функции

Слайд 19

монотонно убывает на R Ось Ох является горизонтальной асимптотой монотонно возрастает на R 8. При любых действительных значениях х и у; a>0, a≠1; b>0, b≠1. 7. Асимптота 6. Экстремумы 5. Монотонность 4. Четность, нечетность 3. Промежутки сравнения значений функции с единицей 2. Область значений функции 1 Область определения функции С в о й с т в а показательной функции Показательные неравенства их типы и методы решения Показательная функция экстремумов не имеет Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

Слайд 20

Показательные неравенства их типы и методы решения Задание № 1 Найдите область определения функции

Слайд 21

Показательные неравенства их типы и методы решения Задание № 2 Определите значениеа

Слайд 22

Показательные неравенства их типы и методы решения Задание № 3 Определите тип функции возрастающая убывающая возрастающая убывающая

Слайд 23

Введение новых знаний

Слайд 24

Показательные неравенства их типы и методы решения ОПРЕДЕЛЕНИЕ простейших показательных неравенств: Пусть а– данное положительное, не равное единице число и b – данное действительное число. Тогда неравенства ax>b (ax≥b)и ax

Слайд 25

Показательные неравенства их типы и методы решения ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ решением неравенства? Решением неравенства с неизвестным х называют число х0, при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство.

Слайд 26

Показательные неравенства их типы и методы решения ЧТО ЗНАЧИТ решить неравенство? Решить неравенство – значит, найти все его решения или показать, что их нет.

Слайд 27

Рассмотримвзаимное расположение графика функции y=ax, a>0, a≠1и прямой y=b Показательные неравенства их типы и методы решения y x y x y=b, b 0 y=b, b>0 0 1 0 1 х0 х0

Слайд 28

Показательные неравенства их типы и методы решения ВЫВОД №1: При b≤0прямая y=b не пересекает график функции y=ax, т.к. расположена ниже кривой y=ax, поэтому неравенства ax>b(ax≥b)выполняются при xR, а неравенства ax

Слайд 29

ВЫВОД №2: y x 0 х0 х1 y=b, b>0 х2 Показательные неравенства их типы и методы решения Если a>1 иb > 0, то для каждого x1 x0- ниже прямойy=b. 1 При b> 0 прямая у = b пересекает график функции y= ax в единственной точке, абсцисса которой x0 = logab

Слайд 30

ВЫВОД №2: y x 0 х0 х1 y=b, b>0 1 Показательные неравенства их типы и методы решения Если a>1иb > 0, то для каждого x1 >x0соответствующая точка графика функцииy=ax находится выше прямой y=b, а для каждого x2 0 прямая у = b пересекает график функции y= ax в единственной точке, абсцисса которой x0 = logab х2

Слайд 31

Простейшие показательные неравенства Показательные неравенства их типы и методы решения

Слайд 32

Показательные неравенства их типы и методы решения Пример №1.1 Ответ: возрастает на всей области определения, Решение:

Слайд 33

Показательные неравенства их типы и методы решения Пример №1.2 Решение: Ответ: убывает на всей области определения,

Слайд 34

Показательные неравенства их типы и методы решения Пример №1.3 Решение: Ответ: возрастает на всей области определения,

Слайд 35

Показательные неравенства их типы и методы решения Типы показательных неравенств и методы их решения 1) Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим возрастает на всей области определения Пример №1 Ответ: Решение:

Слайд 36

Показательные неравенства их типы и методы решения Пример №1.4 Решение: возрастает на всей области определения, Ответ:

Слайд 37

Показательные неравенства их типы и методы решения Типы показательных неравенств и методы их решения Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим Пример №2 возрастает на всей области определения Ответ: Решение:

Слайд 38

Показательные неравенства их типы и методы решения Типы показательных неравенств и методы их решения 2) Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным неравенствам Пример Вернёмся к переменной х возрастает при всех х из области определения Ответ: Решение:

Слайд 39

Показательные неравенства их типы и методы решения Типы показательных неравенств и методы их решения 3) Однородные показательные неравенства первой и второй степени. Однородные показательные неравенства первой степени Пример №1 возрастает на всей области определения Ответ: Решение:

Показательные неравенства их типы и методы решения Типы показательных неравенств и методы их решения 4) Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным неравенствам Пример Вернёмся к переменной х возрастает на всей области определения Ответ: Решение:

Слайд 43

Показательные неравенства их типы и методы решения Типы показательных неравенств и методы их решения 5) Показательные нестандартные неравенства Пример Решение: Решим каждое утверждение совокупности отдельно. Неравенство равносильно совокупности

Слайд 44

Показательные неравенства их типы и методы решения Типы показательных неравенств и методы их решения 5) Показательные нестандартные неравенства Пример Ответ: Решение: Проверка Проверка показала, что х=1, х=3, х=1,5 являются решениями уравнения, а х=2 не является решением уравнения. Итак,

Слайд 45

Закрепление знаний

Какие неравенства называются показательными? Когда показательное неравенство имеет решение при любых значениях х? Когда показательное неравенство не имеет решений? Какие типы неравенств вы узнали на этом уроке? Как решаются простейшие неравенства? Как решаются неравенства, сводящиеся к квадратным? Как решаются однородные неравенства? Как решаются неравенства, сводящиеся к рациональным?

Слайд 46

Итог урока

Выяснить, что нового узнали учащиеся на этом уроке Выставить оценки учащимся за работу на уроке с подробным комментированием

Слайд 47

Домашнее задание

Учебник для 10 класса «Алгебра и начала анализа « автор С.М.Никольский Пункты 6.4 и 6.6 изучить, № 6.31-6.35 и № 6.45- 6.50 решить

Слайд 48

Показательные неравенства их типы и методы решения