Коэффициент затухания колебаний. Свободные затухающие колебания Физика график затухающих колебаний

И получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам - очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите

Затухание колебаний

Свободные колебания в реальных условиях не могут продолжаться вечно. Для механических систем всегда имеет место сопротивление среды, вследствие чего энергия движения объекта рассеивается при трении. В электромагнитных контурах колебания затухают за счет сопротивления проводников.

Уравнение затухающих колебаний

Уравнение затухающих колебаний описывает движение реальных колебательных систем. В дифференциальной форме оно записывается следующим образом:

Из этого выражения можно получить еще одну каноническую форму:

Здесь x и t – координаты пространства и времени, А – первоначальная амплитуда. – коэффициент затухания, который зависит от сопротивления среды r и массы колеблющегося объекта m:

Чем больше сопротивление среды, тем больше энергии рассеивается при вязком трении. И наоборот – чем больше масса (а значит, инерционность) тела, тем дольше оно будет продолжать движение.

Циклическая частота свободных колебаний (такой же системы, но без трения) учитывает силу упругости в системе (например, жесткость пружины k):

Строго говоря, в случае затухающих колебаний нельзя говорить про период – время между повторяющимися движениями системы постоянно увеличивается. Однако если колебания затухают медленно, для них с достаточной точностью можно определить период Т:

Циклическая частота затухающих колебаний

Еще одна характеристика затухающих колебаний – циклическая частота:

Время релаксации – это коэффициент, показывающий, за какое время амплитуда колебаний уменьшится в е раз:

Отношение амплитуды изменяющейся величины в двух последовательных периодах называют декрементом затухания:

Эту же характеристику при расчетах часто представляют в виде логарифма:

Добротность Q характеризует, насколько силы упругости системы превышают силы сопротивления среды, препятствуя диссипации энергии:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	После того, как к пружине подвесили груз, она растянулась на 9,8 см. Пружина колеблется в вертикальном направлении, . Определить период колебаний.
Решение	Так как пружина растягивается под весом, то на нее действует сила тяжести: Силе тяжести противодействует сила упругости пружины: Из двух выражений найдём коэффициент упругости: Подставим коэффициент упругости в формулу для периода затухающих колебаний: Зная, что логарифмический декремент затухания выразим из него неизвестную величину , подставим в знаменатель формулы и выразим Т:
Ответ

Уменьшение энергии колебательной системы приводит к постепенному уменьшению амплитуды колебаний, ибо

В этом случае говорят, что колебания затухают .

Аналогичная ситуация складывается в колебательном контуре. Реальная катушка, входящая в состав контура, всегда обладает активным сопротивлением . При протекании тока на активном сопротивлении катушки будет выделяться джоулево тепло . Энергия контура при этом будет уменьшаться, что будет приводить к уменьшению амплитуды колебаний заряда, напряжения и силы тока.

Наша задача – выяснить по какому закону происходит уменьшение амплитуды колебаний, по какому закону изменяется сама колеблющаяся величина, с какой частотой происходят затухающие колебания, как долго колебания «затухают».

§1 Затухание колебаний в системах с вязким трением

Рассмотрим колебательную систему, в которой действует сила вязкого трения. Примером такой колебательной системы может служить математический маятник, совершающий колебания в воздушной среде.

В этом случае при выведении системы из положения равновесия на

маятник будут действовать две силы: квазиупругая сила и сила сопротивления (сила вязкого трения).

Второй закон Ньютона запишется следующим образом:

Мы знаем, что при малых скоростях сила вязкого трения пропорциональна скорости движения:

Учтем, что проекция скорости есть первая производная от координаты тела, а проекция ускорения – вторая производная от координаты:

Тогда уравнение (2) примет вид:

получим уравнение движения в следующем виде:

где d - коэффициент затухания, он зависит от коэффициента трения r,

w 0 - циклическая частота идеальных колебаний (в отсутствие трения).

Прежде чем решать уравнение (3), рассмотрим колебательный контур. Активное сопротивление катушки включено последовательно с емкостью С и индуктивностью L.

Запишем второй закон Кирхгофа

Учтем, что , , .

Тогда второй закон Кирхгофа примет вид:

Разделим обе части уравнения на :

Введем обозначения

Окончательно получаем

Обратите внимание на математическую тождественность дифференциальных уравнений (3) и (3’). В этом нет ничего удивительного. Мы уже показывали абсолютную математическую тождественность процесса колебания маятника и электромагнитных колебаний в контуре. Очевидно, процессы затухания колебаний в контуре и в системах с вязким трением тоже происходят одинаково.

Решив уравнение (3), мы получим ответы на все поставленные выше вопросы.

Решение этого уравнения нам известно

Тогда для искомого уравнения (3) получаем окончательный результат

Нетрудно видеть, что заряд конденсатора в реальном колебательном контуре будет изменяться по закону

Анализ полученного результата:

1 В результате совместного действия квазиупругой силы и силы сопротивления система может совершать колебательное движение. Для этого должно выполняться условие w 0 2 - d 2 > 0. Иными словами, трение в системе должно быть невелико.

2 Частота затухающих колебаний w не совпадает с частотой колебаний системы в отсутствие трения w 2 = w 0 2 - d 2 < w 0 2 . С течение времени частота затухающих колебаний остается неизменной.

Если коэффициент затухания d мал, то частота затухающих колебаний близка к собственной частоте w 0 .

Это убывание амплитуды происходит по экспоненциальному закону.

4 Если w 0 2 - d 2 < 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция (4) действительно является решением уравнения (3). Очевидно, что сумма двух экспоненциальных функций не является периодической функцией. С физической точки зрения это означает, что колебания в системе не возникнут. После выведения системы из положения равновесия она будет медленно в него возвращаться. Такой процесс называется апериодическим .

§2 Как быстро затухают колебания в системах с вязким трением?

Декремент затухания

значение величины . Видно, что величина d характеризует быстроту затухания колебаний. По этой причине d называют коэффициентом затухания.

Для электрических колебаний в контуре коэффициент затухания зависит от параметров катушки: чем больше активное сопротивление катушки, тем быстрее убывают амплитуды заряда на конденсаторе, напряжения, силы тока.

Функция является произведением убывающей показательной функции и гармонической функции , поэтому функция не является гармонической. Но обладает определенной степенью «повторяемости», заключающейся в том, что максимумы, минимумы, нули функции наступают через равные промежутки времени. График функции представляет собой синусоиду, ограниченную двумя экспонентами.

Найдем отношение двух последовательных амплитуд, разделенных промежутком времени в один период. Это отношение называют декрементом затухания

Обратите внимание, что результат не зависит от того, какие два последовательных периода вы рассматриваете – в начале колебательного движения или по прошествии какого-то времени. За каждый период амплитуда колебаний меняется не на одинаковую величину, а в одинаковое количество раз !!

Нетрудно видеть, что за любые разные промежутки времени амплитуда затухающих колебаний уменьшается в одинаковое количество раз.

Время релаксации

Временем релаксации называется время , за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз:

Отсюда нетрудно установить физический смысл коэффициента затухания:

Таким образом, коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации . Пусть, например, в колебательном контуре коэффициент затухания равен . Это значит, что через время с амплитуда колебаний уменьшится в е раз.

Логарифмический декремент затухания

Часто быстроту затухания колебаний характеризуют логарифмическим декрементом затухания. Для этого берут натуральный логарифм от отношения амплитуд, разделенных промежутком времени в период.

Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания.

Пусть N – число колебаний, совершаемых системой за время релаксации, то есть число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Очевидно, .

Видно, что логарифмический декремент затухания - есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшается в е раз.

Допустим, , это значит, что по прошествии 100 колебаний амплитуда уменьшится в е раз.

Добротность колебательной системы

Кроме логарифмического декремента затухания и времени релаксации, быстроту затухания колебаний можно характеризовать такой величиной, как добротность колебательной системы . Под добротностью

Можно показать, что для слабо затухающих колебаний

Энергия колебательной системы в произвольный момент времени равна . Потери энергии за период можно найти как разность энергии в момент времени и энергии через время, равное периоду:

Показательную функцию можно разложить в ряд при << 1. после подстановки получаем .

При выводе нами было наложено ограничение << 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Формулы, полученные нами для добротности системы, пока ни о чем не говорят. Допустим, расчеты дают значение добротности Q = 10. Что это означает? Как быстро затухают колебания? Это хорошо или плохо?

Обычно условно считают, что колебания практически прекратились, если их энергия уменьшилась в 100 раз (амплитуда – в 10). Выясним, какое количество колебаний совершила система к этому моменту:

Можем ответить на поставленный ранее вопрос: N = 8.

Какая колебательная система лучше – с большой или малой добротностью? Ответ на этот вопрос зависит от того, что вы хотите получить от колебательной системы.

Если вы желаете, чтобы система совершила как можно больше колебаний до остановки, добротность системы нужно увеличивать. Как? Поскольку добротность определяется параметрами самой колебательной системы, то необходимо правильно эти параметры подобрать.

Например, маятник Фуко, установленный в Исаакиевском соборе, должен был совершать слабо затухающие колебания. Тогда

Самый простой способ увеличить добротность маятника – сделать его тяжелее.

В практике нередко возникают и обратные задачи: необходимо по возможности быстрее погасить возникшие колебания (например, колебание стрелки измерительного прибора, колебания кузова автомобиля, колебания судна и т.д.) приспособления, позволяющие увеличить затухание в системе, называются демпферами (или амортизаторами). Например, амортизатор автомобиля в первом приближении представляет собой цилиндр, заполненный маслом (вязкой жидкостью), в котором может двигаться поршень, имеющий ряд мелких отверстий. Шток поршня соединен с кузовом, а цилиндр – с осью колеса. Возникшие колебания кузова быстро затухают, так как движущийся поршень встречает на своем пути большое сопротивление со стороны вязкой жидкости, заполняющей цилиндр.

§ 3 Затухание колебаний в системах с сухим трением

Принципиально иначе происходит затухание колебаний, если в системе действует сила трения скольжения. Именно она является причиной остановки пружинного маятника, совершающего колебания вдоль какой-либо поверхности.

Допустим, пружинный маятник, расположенный на горизонтальной поверхности, привели в колебательное движение, сжав пружину и отпустив груз, то есть из крайнего положения. В процессе движения груза из одного крайнего положения в другое на него действуют сила тяжести и сила реакции опоры (по вертикали), сила упругости и сила трения скольжения (вдоль поверхности).

Заметим, что в процессе движения слева направо сила трения неизменна по направлению и модулю.

Этот позволяет утверждать, что в течение первой половины периода пружинный маятник находится в постоянном силовом поле.

Смещение положения равновесия можно рассчитать из условия равенства равнодействующей нулю в положении равновесия:
Важно, что в течение первой половины периода колебания маятника гармонические !

При движении в обратном направлении – справа налево- сила трения изменит направление, но в течение всего перехода будет оставаться постоянной по модулю и направлению. Эта ситуация опять таки соответствует колебаниям маятника в постоянном силовом поле. Только теперь это поле другое! Оно изменило направление. Следовательно, положение равновесия при движении справа налево тоже изменилось. Теперь оно сместилось вправо на величину Dl 0 .

Изобразим зависимость координаты тела от времени. Поскольку за каждую половину периода движение представляет собой гармоническое колебание, то график будет представлять собой половинки синусоид, каждая из которых построена относительно своего положения равновесия. Мы будем производить операцию «сшивания решений».

Покажем, как это делается на конкретном примере.

Пусть масса груза, прикрепленного к пружине, равна 200 г, жесткость пружины 20 Н/м, коэффициент трения между грузом и поверхностью стола 0,1. Маятник привели в колебательное движение, растянув пружину на

6,5 см.

В отличие от колебательных систем с вязким трением в системах с сухим трением амплитуда колебаний убывает с течением времени по линейному закону – за каждый период она уменьшается на две ширины зоны застоя.

Другая отличительная особенность - колебания в системах с сухим трением даже теоретически не могут происходить бесконечно долго. Они прекращаются, как только тело останавливается в «зоне застоя».

§4 Примеры решения задач

Задача 1 Характер изменения амплитуды затухающих колебаний в системах с вязким трением

Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t 1 = 5 мин уменьшилась в 2 раза. За какое время t 2 амплитуда колебаний уменьшится в 8 раз? Через какое время t 3 можно считать, что колебания маятника прекратились?

Решение:

Амплитуда колебаний в системах с вязким трением с течением време-

ни уменьшается по экспоненте , где - амплитуда колебаний в начальный момент времени, - коэффициент затухания.

1 Запишем закон изменения амплитуда два раза

2 Решаем уравнения совместно. Логарифмируем каждое уравнение и получаем

Делим второе уравнение не первое и находим время t 2

После преобразований получаем

Делим последнее уравнение на уравнение (*)

Задача 2 Период затухающих колебаний в системах с вязким трением

Определите период затухающих колебаний системы Т, если период собственных колебаний Т 0 = 1 с, а логарифмический декремент затухания . Сколько колебаний совершит эта система до полной остановки?

Решение:

1 Период затухающих колебаний в системе с вязким трением больше периода собственных колебаний (при отсутствии трения в системе). Частота затухающих колебаний, наоборот, меньше частоты собственных и равна , где - коэффициент затухания.

2 Выразим циклическую частоту через период. и учтем, что логарифмический декремент затухания равен :

3 После преобразований получаем .

Энергия системы равна максимальной потенциальной энергии маятника

После преобразований получаем

5 Выражаем коэффициент затухания через логарифмический декремент , получаем

Число колебаний, которое совершит система до остановки, равно

Задача 3 Число колебаний, совершаемых маятником до уменьшения амплитуды в два раза

Логарифмический декремент затухания маятника равен q = 3×10 -3 . Определите число полных колебаний, которое должен совершить маятник, чтобы амплитуда его колебаний уменьшилась в 2 раза.

Решение:

3 Нетрудно видеть, что - логарифмический декремент затухания. Получаем

Находим число колебаний

Задача 4 Добротность колебательной системы

Определите добротность маятника, если за время, в течение которого было совершено 10 колебаний, амплитуда уменьшилась в 2 раза. Через какое время маятник остановится?

Решение:

1 Амплитуда колебаний в системах с вязким трением с течением времени уменьшается по экспоненте , где - амплитуда колебаний в начальный момент времени, - коэффициент затухания.

Поскольку амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза, получаем

2 Время колебаний можно представить как произведение периода колебаний на их количество :

Подставляем полученное значение времени в выражение (*)

3 Нетрудно видеть, что - логарифмический декремент затухания. Получаем Логарифмический декремент затухания равен

4 Добротность колебательной системы

Энергия системы равна максимальной потенциальной энергии маятника

После преобразований получаем

Находим время, через которое колебания прекратятся .

Задача 5 Колебания магнита

Вася Лисичкин, известный на всю школу экспериментатор, решил заставить колебаться магнитную фигурку любимого литературного героя Колобка по стенке холодильника. Он прикрепил фигурку к пружине жесткостью k = 10 H/м, растянул ее на 10 см и отпустил. Сколько колебаний совершит Колобок, если масса фигурки m = 10 г, коэффициент трения между фигуркой и стенкой равен μ = 0,4 , а оторвать ее от стенки можно силой F = 0,5 Н.

Решение:

1 При движении из крайнего нижнего в крайнее верхнее положение, когда скорость груза направлена вверх, сила трения скольжения направлена вниз и численно равна . Таким образом, пружинный маятник находится в постоянном силовом поле, созданном силами тяжести и трения. В постоянном силовом поле у маятника смещается положения равновесия:

где - растяжение пружины в новом «положении равновесия».

2 При движении из крайнего верхнего в крайнее нижнее положение, когда скорость груза направлена вниз, сила трения скольжения направлена вверх и численно равна . Таким образом, пружинный маятник опять-таки находится в постоянном силовом поле, созданном силами тяжести и трения. В постоянном силовом поле у маятника смещается положения равновесия:

где - деформация пружины в новом «положении равновесия», знак «-» говорит, что в этом положении пружина сжата.

3 Зона застоя ограничена деформациями пружины от - 1 см до 3 см и составляет 4 см. Середина зоны застоя, в которой деформация пружины равна 1 см, соответствует положению груза, в котором сила трения отсутствует. В зоне застоя сила упругости пружины по модулю меньше равнодействующей максимальной силы трения покоя и силы тяжести. Если маятник останавливается в зоне застоя, колебания прекращаются.

4 За каждый период деформация пружины уменьшается на две ширины зоны застоя, т.е. на 8 см. После одного колебания деформация пружины станет равной 10 см – 8 см = 2 см. Это означает, что после одного колебания фигурка Колобка попадает в зону застоя и ее колебания прекращаются.

§5 Задания для самостоятельного решения

Тест «Затухающие колебания»

1 Под затуханием колебаний понимают…

А) уменьшение частоты колебаний; Б) уменьшение периода колебаний;

В) уменьшение амплитуды колебаний; Г) уменьшение фазы колебаний.

2 Причина затухания свободных колебаний –

А) действие на систему случайных факторов, тормозящих колебания;

Б) действие периодически изменяющейся внешней силы;

В) наличие в системе силы трения;

Г) постепенное уменьшение квазиупругой силы, стремящейся вернуть маятник в положение равновесия.

?

А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см;

Г) Ответ дать не возможно, поскольку неизвестно время .

6 Два одинаковых маятника, находясь в разных вязких средах, совершают колебания. Амплитуда этих колебаний меняется с течением времени так, как показано на рисунке. В какой среде трение больше?

7 Два маятника, находясь в одинаковых средах, совершают колебания. Амплитуда этих колебаний меняется с течением времени так, как показано на рисунке. Какой маятник имеет большую массу?

В) Ответ дать невозможно, поскольку по осям координат не проставлен масштаб и выполнить расчеты нельзя.

8 На каком рисунке правильно показана зависимость координаты затухающих колебаний в системе с вязким трением от времени?

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) Все графики верные.

9 Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими затухание колебаний в системах с вязким трением, и их определением и физическим смыслом. Заполните таблицу

А) Это отношение амплитуд колебаний через время, равное периоду;

Б) Это натуральный логарифм отношения амплитуд колебаний через время, равное периоду;

В) Это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз;

Ж) Эта величина обратна числу колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз;

З) Эта величина показывает во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду колебаний.

10 Составьте правильное утверждение.

Под добротностью понимают…

А) увеличенное в 2p раз отношение полной энергии системы E к энергии W , рассеянной за период;

Б) отношение амплитуд через промежуток времени, равный периоду;

В) количество колебаний, которое совершает система к тому моменту, когда амплитуда уменьшится в е раз.

Добротность рассчитывают по формуле…

Добротность колебательной системы зависит от…

А) энергии системы;

Б) потерь энергии за период;

В) параметров колебательной системы и трения в ней.

Чем больше добротность колебательной системы, тем …

А) медленнее затухают колебания;

Б) быстрее затухают колебания.

11 Математический маятник приводят в колебательное движение, отклонив подвес от положения равновесия в первом случае на 15°, во втором – на 10°. В каком случае маятник совершит больше колебаний до остановки?

А) Когда подвес отклонили на 15°;

Б) Когда подвес отклонили на 10°;

В) В обоих случаях маятник совершит одинаковое число колебаний.

12 К двум нитям одинаковой длины прикрепили шарики одинакового радиуса – алюминиевый и медный. Маятники приводят в колебательное движение, отклонив их на одинаковые углы. Какой из маятников совершит большее количество колебаний до остановки?

А) Алюминиевый; Б) Медный;

В) Оба маятника совершат одинаковое количество колебаний.

13 Пружинный маятник, расположенный на горизонтальной поверхности, привели в колебания, растянув пружину на 9 см. После совершения трех полных колебаний маятник оказался на расстоянии 6 см от положения недеформированной пружины. На каком расстоянии от положения недеформированной пружины окажется маятник после следующих трех колебаний?

А) 5 см; Б) 4 см; В) 3 см.

При изучении этого раздела следует иметь в виду, что колебания различной физической природы описываются с единых математических позиций. Здесь надо четко уяснить такие понятия, как гармоническое колебание, фаза, разность фаз, амплитуда, частота, период колебани.

Надо иметь в виду, что во всякой реальной колебательной системе есть сопротивления среды, т.е. колебания будут затухающими. Для характеристики затухания колебаний вводится коэффициент затухания и логарифмический декремент затухани.

Если колебания совершаются под действием внешней, периодически изменяющейся силы, то такие колебания называют вынужденными. Они будут незатухающими. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Переходя к изучению электромагнитных волн нужно четко представлять, что электромагнитная волна - это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле. Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электрический диполь. Если диполь совершает гармонические колебания, то он излучает монохроматическую волну.

Таблица формул: колебания и волны

Физические законы, формулы, переменные	Формулы колебания и волны
Уравнение гармонических колебаний: где х - смещение (отклонение) колеблющейся величины от положения равновесия; А - амплитуда; ω - круговая (циклическая) частота; α - начальная фаза; (ωt+α) - фаза.
Связь между периодом и круговой частотой:
Частота:
Связь круговой частоты с частотой:
Периоды собственных колебаний 1) пружинного маятника: где k - жесткость пружины; 2) математического маятника: где l - длина маятника, g - ускорение свободного падения; 3) колебательного контура: где L - индуктивность контура, С - емкость конденсатора.
Частота собственных колебаний:
Сложение колебаний одинаковой частоты и направления: 1) амплитуда результирующего колебания где А 1 и А 2 - амплитуды составляющих колебаний, α 1 и α 2 - начальные фазы составляющих колебаний; 2) начальная фаза результирующего колебания
Уравнение затухающих колебаний: е = 2,71... - основание натуральных логарифмов.
Амплитуда затухающих колебаний: где А 0 - амплитуда в начальный момент времени; β - коэффициент затухания;
Коэффициент затухания: колеблющегося тела где r - коэффициент сопротивления среды, m - масса тела; колебательного контура где R - активное сопротивление, L - индуктивность контура.
Частота затухающих колебаний ω:
Период затухающих колебаний Т:
Логарифмический декремент затухания:
Связь логарифмического декремента χ и коэффициента затухания β:

Все реальные гармонические колебания происходят при воздействии сил сопротивления, на преодоление которых тело затрачивает часть своей энергии, в результате амплитуда колебания уменьшается со временем, т.е. колебания носят затухающий характер.

Представим график затухающего колебания:

Вывод дифференциального уравнения затухающего колебания. На тело, кроме силы силы упругости действует сила сопротивления:

где r – коэффициент сопротивления.

Согласно второму закону Ньютона можно записать:

.

Разделим на массу m, получим:

.

Введем обозначения: ,

где β – коэффициент затухания.

Получили дифференциальное уравнение затухающего колебания:

.

Решение уравнения существенно зависит от знака разности ,

где ω - круговая частота затухающих колебаний, ω 0 - круговая частота собственных колебаний системы (без затухания).

При ω>0 решение дифференциального уравнения будет следующим:

.

Амплитуда затухающего колебания в любой момент времени t определяется равенством:

где А 0 – начальная амплитуда, указанная на графике (см. рис 3).

Период Т затухающих колебаний определяется по формуле:

.

Скорость затухания (быстрота уменьшения амплитуды) определяется величиной коэффициента затухания β : чем больше β , тем быстрее уменьшается амплитуда.

Для характеристики скорости затухания ввели понятие декремента затухания.

Декрементом затухания называется отношение двух соседних амплитуд, разделенных периодом:

На практике степень затухания характеризуется логарифмическим декрементом затухания λ , равным:

Выведем формулу, связывающую логарифмический декремент затухания λ с коэффициентом затухания β и периодом колебания Т .

Следовательно:

Выведем размерность коэффициента затухания

.

Вынужденные колебания. Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при воздействии на неё внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Пусть на систему действует сила:

где F 0 – максимальное значение,

ω - круговая частота колебаний внешней силы.

На систему действуют сила сила сопротивления и сила упругости .

С учетом всех четырех сил на основании второго закона Ньютона запишем:

.

Разделим обе части равенства на m , получим:

.

Введем обозначения:

Получили дифференциальное уравнение вынужденного колебания:

.

Представим график вынужденных колебаний:

В начале амплитуда колебаний возрастает, а затем становится постоянной А .

Для установившихся вынужденных колебаний:

(см. рис. 4)

Резонанс. Если ω 0 и β для системы заданы, то амплитуда А вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной . Достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных ω 0 и β называется резонансом .

Резонансная круговая частота определяется формулой:

а резонансная амплитуда:

.

Если отсутствует сопротивление (β=0) , то амплитуда неограниченно возрастает.

Представим на графиках зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы ω при различных значениях коэффициента затухания:

По виду резонансной кривой резонанс может быть острым при β→0 , тупым – при β→1 . (см. рис. 5).

По механизму возбуждения резонанс классифицируется на:

Механический; акустический; электромагнитный; парамагнитный; ядерномагнитный.

Возникновение резонансных явлений в организме может быть как полезным, так и вредным. Например, на акустическом резонансе основано восприятия звука, инфразвук может вызвать разрыв тканей внутренних органов.

Автоколебания. При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту потерю энергии, то колебания станут незатухающими. Пополнять эту потерянную системой энергию можно за счет источника энергии извне, а можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама бы управляла внешним воздействием.

Незатухающие колебания, возникающие в системе за счет источника энергии, не обладающего колебательными свойствами, называются автоколебаниями , а сами системы – автоколебательными .

Классическим примером автоколебаний являются часы: заведенная пружина; поднятая гиря – источник энергии; анкер – регулятор поступления энергии от источника; маятник или баланс – колебательная система.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными , если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид

где - колеблющаяся величина, - циклическая частота.

- решение этого уравнения. Здесь - амплитуда, - начальная фаза.

Фаза колебаний.

Амплитуда – максимальное значение колеблющейся величины.

Период колебаний – промежуток времени, через который происходит повторение движения тела. Фаза колебания за период получает приращение . . , - число колебаний.

Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. . . Измеряется в герцах (Гц).

Циклическая частота – число колебаний, совершаемых за секунд. . Единица измерения .

Фаза колебаний – величина, стоящая под знаком косинуса и характеризующая состояние колебательной системы в любой момент времени.

Начальная фаза – фаза колебаний в начальный момент времени. Фаза и начальная фаза измеряются в радианах ().

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид

, (1)

Решение уравнения (1) в случае малого затухания (d 2 << ) имеет вид

Промежуток времени , в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации .

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими. Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя следующими друг за другом максимумами (или минимумами) колеблющейся величины. Тогда период затухающих колебаний вычисляют по формуле

.

Если A (t ) и A (t+T )– амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания , а его логарифм

– логарифмическим декрементом затухания .

Величина N e – это число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная величина для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы используют понятие добротности Q , которая при малых значениях логарифмического декремента равна

.